Question

O número de diagonais (d) de um polígono é dado pela fórmula d= n(n-2)/ 2 ,em que (n) representa o número de lados do polígono. Qual é o número de lados de um polígono que tem 90 diagonais ?

Answer 1

d= n.(n-3) ÷ 2
90= n(n-3)/2
90*2 = n² -3n
180 = n² -3n
- n² +3n+180= 0 (-1)
n² -3n -180= 0

n² -3n -180= 0 →Equação do 2º grau
a= 1 b= -3 c= -180
∆ = b² - 4.a.c
∆ = (-3)² - 4.(1).(-180)
∆ = 9 + 70
∆ = 729
x = -b ± √∆) / 2.a
x = - (-3)± √729/ 2.(1)
x = 3 ± 27/2

x'= 3+27/2 → 30/2
x'= 15
x"= 3-27/2 →-24/2
x"= -12

Raízes 15 e -12
-12 não convém pois um polígono não pode ter número de lados negativo então, logo N=15

Answer 2

Como essa fórmula não dá um número exato de lados, a formula seria d = n(n-3)/2

Temos d = 90

d = n(n-3)/2
90 = n(n-3)/2

O 2 da fração sobe para o outro lado multiplicando

90(2) = n² - 3n
180 = n² - 3n
n² - 3n - 180 = 0 

Δ = 9 + 720
Δ = 729

n = 3 ± √729/2

n1 = (3 + √729)/2           n2 não será necessário pois dará um número
n1 = (3 + 27)/2               negativo e não existe polígono de lados negativos
n1 = 30/2
n1 = 15

numero de lados = 15 

n=15