Question

Um lado de um octógono regular mede 8 cm. A área de superfície desse octógono, em centímetros quadrados, é igual a:

a)128·(1+√2)
b)64·(1+√2)
c)32·(1+√2)
d)64+√2
e)128+√2

Answer 1

O octógono pode ser dividido em 8 triângulos isósceles, de base 8cm. 
Podemos calcular o ângulo central: 
ac =360/n = 45º 
Não conhecemos os lados isósceles. Pela lei dos cossenos: 
8²= x²+x²-2x.x.cos45º 
64= 2x²-2x²(√2/2) 
64 =2x²-x²√2 
x²[2-√2] = 64 
x² = 64/(2-√2) 
Racionalizando, vem: 
x² = 32(2+√2) 
Deixemos o resultado dessa forma. 

Agora, basta calcularmos a área de um triângulo e, depois multiplicarmos por 8, e teremos a área do octógono. De fato: 
8S = 8(x.x.sen45º)/2 
= 4x²(√2/2) = 2x²√2 
= 2[32(2+√2)]√2 
= 2[64+32√2]√2 
= 128√2 + 128 
= 128(√2+1)