Question

Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
1) cossec^2 x . tgx = cotg x . sec^2 x
2) (1 + senx) (1- senx) = cos^2 x

Alguém pode me ajudar? Pfv

Answer 1

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Demonstrar as identidades trigonométricas.

     1)   cossec² x · tg x = cotg x · sec² x.

     2)   (1 + sen x) · (1 – sen x) = cos² x.


Para demonstrar corretamente, devemos partir de um dos membros e fazer manipulações até chegar ao outro membro.

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1)  Demonstrar que   cossec² x · tg x = cotg x · sec² x.

Vamos partir do lado esquerdo. Aplique as definições de cossecante e tangente:

     •   a cossecante é o inverso do seno;

     •   a tangente é o seno dividido pelo cosseno.


     $\mathsf{cossec^2\,x\cdot tg\,x}\\\\\\ =\mathsf{\Big(\dfrac{1}{sen\,x}\Big)^{\!2}\cdot \dfrac{sen\,x}{cos\,x}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{1}{sen^2\,x}\cdot \dfrac{sen\,x}{cos\,x}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{sen\,x}{sen^2\,x\cdot cos\,x}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{\,\diagup\!\!\!\!\!\! sen\,x}{\,\diagup\!\!\!\!\!\! sen\,x\cdot sen\,x\cdot cos\,x}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{1}{sen\,x\cdot cos\,x}}$


Como condição de existência para a expressão acima, devemos ter ambos  sen x  e  cos x  diferentes de zero.

Para que apareça  sec² x, podemos multiplicar o numerador e o denominador por  cos x, e a expressão acima fica

     $=\mathsf{\dfrac{cos\,x}{sen\,x\cdot cos\,x\cdot cos\,x}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{cos\,x}{sen\,x\cdot cos^2\,x}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{cos\,x}{sen\,x}\cdot \dfrac{1}{cos^2\,x}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{cos\,x}{sen\,x}\cdot \Big(\dfrac{1}{cos\,x}\Big)^{\!2}}\\\\\\ =\mathsf{cotg\,x\cdot sec^2\,x}\qquad\quad\checkmark$


onde o último passo é consequência direta das definições de cotangente e secante:

     •   a cotangente é o cosseno dividido pelo seno;

     •   a secante é o inverso do cosseno.

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2)  Demonstrar que   (1 + sen x) · (1 – sen x) = cos² x.

Partindo do lado esquerdo, podemos expandir o produto e eliminar os parênteses:

     $\mathsf{(1+sen\,x)\cdot (1-sen\,x)}\\\\ =\mathsf{(1+sen\,x)\cdot 1-(1+sen\,x)\cdot sen\,x}\\\\ =\mathsf{1+\,\diagup\!\!\!\!\!\! sen\,x-\,\diagup\!\!\!\!\!\! sen\,x-(sen\,x)^2}\\\\ =\mathsf{1-sen^2\,x}$


Subtraia e some  cos² x,  e a expressão acima fica

     $=\mathsf{1-sen^2\,x-cos^2\,x+cos^2\,x}\\\\ =\mathsf{1-(sen^2\,x+cos^2\,x)+cos^2\,x}$


Mas  sen² x + cos² x = 1,  sendo esta a Relação Trigonométrica Fundamental. Então, a expressão fica

     $=\mathsf{\diagup\!\!\!\! 1-\diagup\!\!\!\! 1+cos^2\,x}\\\\ =\mathsf{cos^2\,x}\qquad\quad\checkmark$

como queríamos demonstrar.


Bons estudos! :-)