Question

Em um certo país, as placas de automóveis são formadas por 5 letras do alfabeto A, B, ..., Z, formado por 23 letras.1.1 Quantas placas podem ser formadas, no total?1.2 Quantas placas podem ser formadas, que não possuem ocorrências de letras repeti- das?1.3 Quantas placas do tipo formado em 1.2 comecam com a letra A?1.4 Quantas placas do tipo formado em 1.2 terminam com uma das vogais A, E, I, O, U?

Answer 1

Basicamente iremos usar apenas a fórmula de arranjo
$A_n,\ _p= \dfrac{n!}{(n-p)!}$

1.1
 São 23 letras e 5 lugares para colocá-las, temos um princípio fundamental da contagem..

$23^5=6436343\ placas$
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1.2
Temos um arranjo já que não podem ser repetidas..

$A_{23,\ 5}= \dfrac{23!}{(23-5)!} \\\\\\A_{23,\ 5}= \dfrac{23!}{18!} \\\\\\A_{23,\ 5}=4037880$
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1.3
Temos que fixar o A, na primeira posição, logo ficará 22 letras e 4 lugares para colocá-las

$A_{22,\ 4}= \dfrac{22!}{(22-4)!}\\\\\\\\ A_{22,\ 4}= \dfrac{22!}{18!}\\\\\\A_{22,\ 4}= 175560$
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1.4
Temos 5 vogais para colocar no 5° lugar, mas só poderá ser colocada uma de cada vez, logo será uma arranjo de A(₂₂, ₄), ficará:

$A_{22,\ 4}= \dfrac{22!}{(22-4)!}\\\\\\\\ A_{22,\ 4}= \dfrac{22!}{18!}\\\\\\A_{22,\ 4}= 175560$

Perceba que multiplicamos apenas com uma vogal, ainda falta as outras..
$175560 \times 5=877800$
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Forte abraço!