Question

Escalone os sistemas lineares e determine a sua solução : X+2y+3t=1 X-Y+T=2. 2x-3y+2t=0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Ianfenix, que a resolução é simples, embora apenas um pouquinho trabalhosa, pois se trata de um sistema com três equações e três incógnitas.
Tem-se:

x + 2y + 3t = 1          . (I)
x - y + t = 2               .(II)
2x-3y+2t = 0             . (III)

Vamos fazer o seguinte: inicialmente multiplicaremos a expressão (II) por "2" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (I). Assim teremos:

x + 2y + 3t = 1 --- [esta é a expressão (I) normal]
2x-2y + 2t = 4 --- [esta é a expressão (II) multiplicada por "2"]
---------------------- somando membro a membro, teremos:
3x+0 + 5t = 5 --- ou apenas:
3x + 5t = 5         . (IV).

Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (II) por "-3" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (III). Assim teremos:

-3x +3y - 3t = -6 --- [esta é a expressão (II) multiplicada por "-3"]
2x - 3y + 2t = 0 ---- [esta é a expressão (III) normal]
---------------------------- somando membro a membro, teremos:
- x+0 - t = - 6 --- ou apenas:

-x - t = - 6      . (V).

Agora veja que ficamos com um sistema de apenas duas incógnitas e duas equações, que são as expressões (IV) e (V) e que são estas:

3x + 5t = 5      . (IV)
-x - t = - 6        . (V).

Note que agora já poderemos encontrar, com uma certa facilidade, os valores de "x" e de "t". Depois é só encontrar o valor de "y" substituindo-se os valores de "x" e de "t" em uma das três primeiras expressões.

Então vamos fazer assim: multiplicamos a expressão (V) por "3" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (IV). Assim teremos:

3x + 5t = 5 --- [esta é a expressão (IV) normal
-3x- 3t = -18 --- [esta é a expressão (V) multiplicada por 3]
------------------------ somando membro a membro, teremos;
0 + 2t = - 13 ---- ou apenas:
2t = - 13
t = -13/2  <--- Este é o valor de "t".

Agora, para encontrar o valor de "x" vamos na expressão (IV), que é esta:

3x + 5t = 5 ---- substituindo-se "t" por "-13/2", teremos:
3x + 5*(-13/2) = 5
3x + (-65/2) = 5 --- retirando-se os parênteses, ficaremos com:
3x - 65/2 = 5
3x = 5 + 65/2 ---- note que 5+65/2 = 75/2. Logo:
3x = 75/2
x = 75/2*3
x = 75/6 ---- simplificando-se por "3", ficaremos apenas com:
x = 25/2 <--- Este é o valor de "x".

Finalmente, para encontrar o valor de "y", vamos em quaisquer uma das três primeiras expressões. Vamos na expressão (III), que é esta:

2x - 3y + 2t = 0 ---- substituindo-se "x" e "t" por seus valores já encontrados, teremos:

2*(25/2) - 3y + 2*(-13/2) = 0
50/2 - 3y - 26/2 = 0 --- vamos apenas ordenar, ficando assim:
50/2 - 26/2 - 3y = 0 ---- note que 50/2 = 25 e -26/2 = - 13. Assim:
25 - 13 - 3y = 0 ---- note que "25-13 = 12". Logo:
12 - 3y = 0
- 3y = - 12 --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos:
3y = 12
y = 12/3
y = 4 <--- Este é o valor de "y".

Assim, resumindo, temos que:

x = 25/2;  y = 4; e t = -13/2 <--- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-soluççao {x; y; t} da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {25/2; 4; -13/2}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.