Question

Em um plano marcamos 6 pontos distintos, dos quais 3 nunca estao em linha reta.
a) quantos segmentos de reta podemos traçar lingando 2 a 2?
b) quantos triangulos podemos formar tendo sempre 3 deles como vertices?

Answer 1

C(n,p) = n! / ((n-p)! * p!)

C(n,p) ⇒ Combinação de n "fatores" em "p" espaços;
"!" ⇒ Fatorial;

a) Para formar segmentos de retas, precisamos de dois pontos dos seis existentes.
Como, por exemplo, o segmento AB é o mesmo que o segmento BA, o segmento CD é o mesmo que o DC, etc, então usamos a combinação
(porque nela não contamos a permutação interna dos pontos, já que, como dito, AB = BA, CD = DC, etc...)

Sendo "n" = 6 e "p" = 2 :

C(6,2) = 6! / ((6 - 2)! * 2!)

C(6,2) = 6! / (4! * 2!)

C(6,2) = 6 * 5 * 4! / (4! * 2!) → Cortando :

C(6,2) = 6 * 5 / 2! → 2! = 2 * 1

C(6,2) = 6 * 5 / 2

C(6,2) = 3 * 5 

C(6,2) = 15 segmentos de reta possíveis !

b) Mesmo raciocínio, mas agora sabemos que o triângulo tem três vértices a serem combinados entre os seis pontos possíveis. 
Lembrando que, da mesma forma, o ΔABC = o ΔBCA , etc...

Sendo "n" = 6 e "p" = 3 :

C(6,3) = 6! / ((6 - 3)! * 3!)

C(6,3) = 6! / (3! * 3!)

C(6,3) = 6 * 5 * 4 * 3! / (3! * 3!) → Cortando :

C(6,3) = 6 * 5 * 4 / 3! → 3! = 3 * 2 * 1 = 6 :

C(6,3) = 6 * 5 * 4 / 6

C(6,3) = 5 * 4

C(6,3) = 20 triângulos possíveis !