Question

Encontre uma fórmula do termo geral para a sequência

     (0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, ...)

em termos de uma única sentença.

—————

Obs.: Na sequência dada,

     •   os termos de ordem ímpar são nulos,

     •   os termos de ordem par formam a sequência dos naturais  1, 2, 3, ...

Answer 1

Considere as seguintes definições:

f(x)= fórmula geral (Resposta)
x=Posição de cada termo 
y = Funções que irei manipular. (E suas respectivas sequências em função de f(x)). *Não são iguais nas diferentes manipulações

Assim, primeiramente definir:

y = f(x)

em que f(x) rege a sequência: (0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,..) Considerando f(1) = 0

Dividirei o segundo membro por 0.5x

Assim, a nova função y será:

$y=\frac{f(x)}{0.5x}$

y = (0/(0,5*1); 1/(0.5*2); 0*(0.5*3); 2*(0.5*4); 0*(0.5*5); 3*(0.5*6); ...)

y= (0;1;0;1;0;1;0;1...)

Agora multiplicarei o segundo membro por 2

$y=2*\frac{f(x)}{0.5x}\\\\y=4f(x)$

E a sequência ficará

y=(0*2;1*2;0*2;1*2;0*2;1*2:...}

y=(0;2;0;2;0;2;0;2...)

Por último, irei subtrair uma unidade do segundo membro.

$y=\frac{4f(x)}{x}-1$

y=(0-1;2-1;0-1;2-1;0-1;2-1;...)

y=(-1;1;-1;1;-1;1...)

Veja que essa última função assemelha muito à uma determinada função trigonométrica que possui f(0) = 1, amplitude = 1 e período = 2.

É a função  $cos(\pi x)$.

Podemos então, finalmente, reescrever a equação como:

$cos(\pi x)=\frac{4f(x)}{x}-1$

Basta agora apenas isolar f(x) e encontrar a resposta.

$\frac{4f(x)}{x}=cos(\pi x)+1$

$\boxed{f(x)=\frac{x}{4}(cos(\pi x)+1)}$

Informação adicional:

Posso definir y também como a função (-1)^x, que funciona perfeitamente para x pertencente aos inteiros.

Assim a função ficará:

 $(-1)^x=\frac{4f(x)}{x}-1\\\\\frac{4f(x)}{x}=(-1)^x+1\\\\\boxed{f(x)=\frac{x}{4}((-1)^x+1)}$

Dúvidas? Comente.