Question

Seja λ uma circunferência com centro sobre a reta y=3x. Sendo λ tangente à reta de equação y=x no ponto de ordenada 4, determine a equação de λ .

Answer 1

Primeiramente, a circunferência terá a forma $(x-x')^2+(y-y')^2=r^2$, onde o centro da circunferência é $C(x',y')$ e $r$ é o raio.

Primeiro precisamos encontrar o centro da circunferência. Para isso vamos considerar o seguinte:

$s: y=x$(reta tangente à circunferência no ponto $P(4,4)$).

A reta perpendicular à reta tangente passa exatamente pelo centro da circunferência. Portanto devemos encontrá-la para achar o centro da circunferência:

$s': y=-x+n$
$4=-4+n$ ⇒ $n = 4+4$ ⇒ $n = 8$
$s': y=-x+8$ (reta perpendicular à reta tangente e que passa pelo centro da circunferência).

Agora consideremos a informação do enunciado de que o centro da circunferência está sobre a reta $t:y=3x$.

Da interseção de $s'$ e $t$ temos:

$3x=-x+8$ ⇒ $4x=8$ ⇒ $x=2$

Trocando o valor de $x$ em $y=3x$ teremos o valor de $y$:

$y=3x$ ⇒ $y=3(2)$ ⇒ $y=6$

Assim o centro da circunferência será: $C(2,6)$.

Agora para obtermos o raio, devemos encontrar a distância entre o ponto $P(4,4)$ e $C(2,6)$:

$d(P,C) = \sqrt{( x_{P}- x_{C})^2 + (y_{P}- y_{C})^2} = \sqrt{(4-2)^2+(4-6)^2}$ $= \sqrt{(2)^2+(-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} = r$

Trocando $C(2,6)$ e $r=2 \sqrt{2}$ na equação geral da circunferência, teremos:

 $(x-x')^2+(y-y')^2=r^2$ ⇒ $(x-2)^2+(y-6)^2= (2 \sqrt{2})^2$ ⇒ $(x-2)^2+(y-6)^2= 8$.

Assim, a equação da circunferência buscada é: 

$(x-2)^2+(y-6)^2= 8$