Question

Sabendo que o lado do quadrado mede 2 cm, determine o raio do circulo menor (IMAGEM EM ANEXO)

Answer 1

Pela foto abaixo, podemos perceber que a medida do segmento vermelho é $r(\sqrt{2}-1)$, o que é bem útil para resolver o problema.

Mas por quê? Porque a diagonal do quadrado preto de lado r mede $r \sqrt{2}$, vide teorema de Pitágoras. Subtraindo do raio, em azul, encontramos $r(\sqrt{2}-1)$.

Vamos chamar esse segmento de vermelho de distância entre o círculo e o vértice do quadrado.

Perceba que, se subtrairmos
- distância entre o círculo grande e o vértice (vale $1( \sqrt{2} -1)$, pois o raio desse círculo é 1, metade do lado)
da
- distância entre o círculo pequeno e o vértice, (vale $r (\sqrt{2} -1)$
o que sobra é duas vezes o raio do círculo pequeno, vide imagem 2.

Ou seja:

$1( \sqrt{2}-1)-r( \sqrt{2} -1)=2r \\ \sqrt{2}-1-r\sqrt{2} +r - 2r=0 \\ \sqrt{2}-1-r(\sqrt{2} -1 + 2)=0 \\ \sqrt{2}-1-r(\sqrt{2} +1)=0 \\ -r(\sqrt{2} +1)=1-\sqrt{2} \\ r(\sqrt{2} +1)=\sqrt{2}-1 \\ \\ r=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \\ \\ r=\dfrac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} \\ \\ r=\dfrac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{2 - 1} \\ r=\dfrac{2-\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}{1} \\ r=3-2\sqrt{2} \ cm$