Question

Encontre uma fórmula do termo geral para a sequência

(25, 16, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49...)

em termos de uma única sentença.

Obs: Essa sequência representa uma certa ordem de números quadrados em sequência.

*Do 25 diminui-se para o 0, retorna ao 4, diminui-se ao 0 novamente e aumenta progressivamente até o infinito.

*Dica: Representa a sequência (-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7...), só que com todos os termos elevados ao quadrado.

Answer 1

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Observemos apenas os  15  primeiros termos da sequência original $\mathsf{(a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}}:$

     (25, 16, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16, 25, ...)


Notamos que há uma simetria dos  15  primeiros termos em relação ao termo central  $\mathsf{a_8},$  isto é:

     $\mathsf{a_{8-k}=a_{8+k}}$

para  k = 0, 1, 2,  ... 8.


Por causa disso, vamos utilizar uma sequência auxiliar  $\mathsf{(b_n)_{n\in\mathbb{N}^*}},$  cuja lei é

     $\mathsf{b_n=|n-8|}$

já que esta possui o mesmo tipo de simetria da sequência inicial  $\mathsf{a_n.}$


Listando os  15  primeiros termos de  $\mathsf{b_n:}$

     (7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...)


Para essa sequência, temos

     $\mathsf{b_6=b_{10}=2}\\\\ \mathsf{b_{8-2}=b_{8+2}=2}$


mas como na sequência original o  6º  e o  10º  termo são nulos, vamos trabalhar com uma nova auxiliar  $\mathsf{(c_n)_{n\in\mathbb{N}^*}},$  formada apenas trasladando os elementos de  $\mathsf{b_n}$  2  unidades para baixo.

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A lei de formação dessa nova sequência é

     $\mathsf{c_n=b_n-2}\\\\ \mathsf{c_n=|n-8|-2}$


Listando os  15  primeiros termos de $\mathsf{c_n:}$

     (5, 4, 3, 2, 1, 0, − 1, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...)

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Estamos quase lá.

Por fim, veja que se tomarmos os quadrados dos elementos da sequência  $\mathsf{c_n},$  obtemos exatamente a sequência  $\mathsf{a_n}$  pedida inicialmente nesta tarefa, ou seja:

      $\mathsf{a_n=(c_n)^2}$

      $\mathsf{a_n=\big(|n-8|-2\big)^2}$   <————   esta é uma resposta possível.

com  n = 1, 2, 3, ...


Bons estudos!