Question

Oi, pessoal.
Uma ajudinha aqui:

O número de possíveis valores inteiros não negativos para m, de modo que a equação x² - 8x + 2m = 0 tenha pelo menos uma raiz inteira, é igual a:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Answer 1

Para que a equação tenha pelo menos uma raiz inteira, é necessário que $\Delta \geq 0$. Assim:

$\Delta = b^2-4ac \geq 0$ ⇒ $(-8)^2-4(1)(2m) \geq 0$ ⇒ $64-8m \geq 0$ ⇒ $64 \geq 8m$ ⇒ $m \leq \frac{64}{8}$ ⇒ $m \leq 8$

Logo, como $x^2 - 8x + 2m = 0$, $m \leq 8$ e "m" é inteiro não negativo, ou seja $m\in[0,+\infty)\in\mathbb{Z}$, deduz-se que os possíveis valores de "m" que atendem esses pré-requisitos são:

$m\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$, (para "m = 0" a equação possui uma raiz e para "0 < m ≤ 8" a equação possui duas raízes).

Agora, considerando que as raízes da equação $x^2 - 8x + 2m = 0$ devem ser inteiras, devemos analisar para quais valores de Δ é possível obtermos raízes inteiras.

Assim, prosseguiremos à análise de cada caso:

Para m = 0:

$\Delta=64-8m=64-8(0)=64-0=64$ (como Δ é um quadrado perfeito, a equação pode apresentar raízes inteiras)

$x= \frac{-b+- \sqrt{\Delta} }{2a}= \frac{-(-8)+- \sqrt{64}}{2(1)}= \frac{8+-8}{2}$ ⇒ $\left \{ {{x'= \frac{8+8}{2}= \frac{16}{2}=8\in\mathbb{Z}} \atop {x''= \frac{8-8}{2}= \frac{0}{2}=0\in\mathbb{Z}}} \right.$

Para m = 1:

$\Delta=64-8m=64-8(1)=64-8=56$ (como Δ não é um quadrado perfeito, a equação não pode apresentar raízes inteiras)

Para m = 2:

$\Delta=64-8m=64-8(2)=64-16=48$ (como Δ não é um quadrado perfeito, a equação não pode apresentar raízes inteiras)

Para m = 3:

$\Delta=64-8m=64-8(3)=64-24=40$ (como Δ não é um quadrado perfeito, a equação não pode apresentar raízes inteiras)

Para m = 4:

$\Delta=64-8m=64-8(4)=64-32=32$ (como Δ não é um quadrado perfeito, a equação não pode apresentar raízes inteiras)

Para m = 5:

$\Delta=64-8m=64-8(5)=64-40=14$ (como Δ não é um quadrado perfeito, a equação não pode apresentar raízes inteiras)

Para m = 6:

$\Delta=64-8m=64-8(6)=64-48=16$ (como Δ é um quadrado perfeito, a equação pode apresentar raízes inteiras)

$x= \frac{-b+- \sqrt{\Delta} }{2a}= \frac{-(-8)+- \sqrt{16}}{2(1)}= \frac{8+-4}{2}$ ⇒ $\left \{ {{x'= \frac{8+4}{2}= \frac{12}{2}=6\in\mathbb{Z}} \atop {x''= \frac{8-4}{2}= \frac{4}{2}=2\in\mathbb{Z}}} \right.$

Para m = 7:

$\Delta=64-8m=64-8(7)=64-56=8$ (como Δ não é um quadrado perfeito, a equação não pode apresentar raízes inteiras)

Para m = 8:

$\Delta=64-8m=64-8(8)=64-64=0$ (como Δ é um quadrado perfeito, a equação pode apresentar raízes inteiras)

$x= \frac{-b+- \sqrt{\Delta} }{2a}= \frac{-(-8)+- \sqrt{0}}{2(1)}= \frac{8+-0}{2}$ ⇒ $\left \{ {{x'= \frac{8+0}{2}= \frac{8}{2}=4\in\mathbb{Z}} \atop {x''= \frac{8-0}{2}= \frac{8}{2}=4\in\mathbb{Z}}} \right.$

A partir dessas análises observa-se que os possíveis valores de "m" para os quais a equação $x^2 - 8x + 2m = 0$ apresenta pelo menos uma raiz inteira são: m = {0,6,8}. 

Portanto, o número de possíveis valores não negativos de "m" na equação de forma que ela tenha pelo menos uma raiz inteira é 3. E a resposta é a alternativa "C".