Question

 Dentre todos os retângulos de perímetro 20. Identifique aquele de área Máxima.

Answer 1

Vamos considerar um triângulo de lados iguais a "x" e "y". Assim, temos que:

Perímetro:
P = 2x + 2y

Área:
A = x * y

Como o perímtro deve ser 20, temos que:

P = 2x + 2y
20 = 2x + 2y
20 = 2 * (x + y)
20/2 = x + y
10 = x + y
10 - x = y

Vamos substituir o valor de "y = 10 - x" na equação da área:

A = x * y
A = x * (10 - x)
A = -x² + 10x

Note que a equação da área do retângulo em função do seu lado "x" é uma equação de segundo grau cujo gráfico é uma parábola com concavidade para baixo, já que o coeficiente "a" é negativo (a < 0).
Portanto, uma parábola com concavidade para baixo possui um ponto de máximo no seu vértice que possui coordenadas (Xv, Yv).
A área máxima será dada pela coordenada Yv do vértice da parábola. Já o lado "x" do retângulo de área máxima é dado pela coordenada Xv do vértice. Vamos determinar o valor de Xv.

A = -x² + 10x

a = -1
b = 10
c = 0

Xv = -b / 2a
Xv = -(10) / (2 * (-1))
Xv = (-10) / (-2)
Xv = 5

Portanto, o lado "x" do retângulo mede 5. Vamos calcular o lado "y" do retângulo.

y = 10 - x
y = 10 - 5
y = 5

Portanto, dentre todos os retângulos de perímetro igual a 20, aquele que possui área máxima é o que possui medidas de lados iguais a 5, ou seja, é o quadrado de lado 5.
Obs.: Todo quadrado também é um retângulo.