Question

Determine k para que o sistema só admita solução trivial:

x + y + z = 0
x + 2y +kz = 0
x + 4y + $a^{2}$ z = 0

Favor expressar os devidos calculos!

Answer 1

Consideremos as equações :

(1)  x+ y +  z =0
(2)  x+2y + kz=0
(3)  x+4y +a²z=0    vamos montar um sistema equivalente com  as equações :

(4) = (1)           ⇒           x +y  +  z   =  0
(5) = (2) -(1)    ⇒               y   + (k-1)z=0
(6) = (3)-(1)     ⇒              3y +(a²-1)z=0 

(7)=(1)                      ⇒             x+y  +  z  =  0
(8)=(5)                      ⇒                 y + (k-1)z=0
(9) =(6) -3(5)    ⇒              [(a²-1) -3(k-1)] z=0

Para que o sistema só admita solução trivial o coeficiente de   z   na

equação (9) deve ser diferente de zero.

(a²-1) - 3(k-1) ≠0 ⇒a²-1 ≠3(k-1) ⇒a²-1 ≠ 3k-3 ⇒a²-1+3≠3k⇒a²+2≠3k

3k≠a²+2 ⇒  k ≠ (a²+2) / 3