Question

Uma matriz quadrada chama-se ortogonal se é inversível e sua inversa é sua transposta. Mostre que uma matriz diagonal é também ortogonal, então os termos de sua diagonal principal são iguais a 1 ou -1.

Answer 1

É importante lembrar que:
$det(AB)=det(A)\cdot det(B) \\ det(A)=det(A^t) \\ det(I_n)=1\\ \textrm{(Sendo In a matriz identidade de ordem n) }$

Se A é ortogonal:

$A^t=A^{-1} \\ A^tA=A^{-1}A \\ A^tA=I_n \\ det(A^tA)=det(I_n) \\ det(A^t)\cdot det(A)=1 \\ det(A)\cdot det(A)=1 \\ det^2(A)=1 \\ det(A)=\pm 1$

Como, em uma matriz diagonal, o produtos dos elementos da diagonal principal é o determinante, ela só pode ter números iguais a mais ou menos 1.