1. (Fuvest 2004) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos? gostaria de saber, por favor.
Respostas
Se a empresa E(1) fica com 2 trabalhos ,ela pode escolher de C(4,2) =
4*3 / 2 = 6 modos e os 2 trabalhos que sobraram vão
para as outras empresas de 2 modos ,
nesse caso temos no total 6*2= 12 possibilidades
O mesmo acontece se a empresa E(2) fica com 2 trabalhos e
O mesmo acontece se a empresa E(3) fica com 2 trabalhos .
Os 2 trabalhos ficam com E(1) ou E(2) ou E(3)
temos então ; 12+12+12 = 36 possibilidades
Veja no anexo uma distribuição para empresa E1 com 2 trabalhos
Resposta:
36 maneiras
Explicação passo-a-passo:
.
=> Temos 4 trabalhos ..e apenas 3 empresas ..e a restrição de TODAS serem contratadas
...isso implica que uma das empresas vai executar 2 trabalhos e as outras 2 vão receber apenas um trabalho cada uma
Note que:
=> Não há distinção dos trabalhos (são idênticos) ..logo a "ordem" não é importante
=> Não há distinção das empresas ..logo a "ordem" não é importante
...isto implica uma situação de Combinação Simples
assim temos
--> Para a 1ª empresa (seja ela qual for) temos o número de possibilidades dado por C(4,2)
--> Para a 2ª empresa (seja ela qual for) temos o número de possibilidades dado por C(2,1)
--> Para a 3ª empresa (seja ela qual for) temos o número de possibilidades dado por C(1,,1) ...dado que tem de ficar com o trabalho restante
...mas como são 3 empresas temos de saber quantos "grupos de 2" empresas podemos formar ..donde resulta C(3,2) ..note que a 3ª empresa fica sempre com o trabalho restante.
O número (N) de maneiras de distribuir os 4 trabalhos pelas 3 empresas será dado por:
N = C(3,2) . [C(4,2) . C(2,1) . C(1,1)]
N = (3!/2!(3-2)!) . [4!/2!(4-2)! . 2!/1!(2-1)! . (1)]
N = (3.2!/2!1!) . [4.3.2!/2!2! . 2!/1!1! . (1)]
N = (3) . [4.3/2! . (2) . (1)]
N = (3) . [(6) . (2) . (1)]
N = 3 . 12
N = 36 maneiras
Espero ter ajudado