Duas regiões , uma com a forma de um quadrado e a outra com forma de um hexágono regular , têm os lados construídos utilizando-se dois pedaços de arame de comprimentos iguais . Qual é a razão entre a área da região hexagonal e a área da região quadrada (nessa ordem !!!!)?(Com as contas, por favor)
Respostas
Hexágono: 6 lados = 6 triângulos
Supondo que o arame vale x.
No quadrado cada lado valerá x/4.
No hexágono cada lado valerá x/6
Área do hexágono:
x = 6.( L².√3)/4 = 6.( x/6)².√3/4 = 6.x².√3/36/4 = x².√3/6/4 = x².√3/6. 1/4=
x².√3/24
Área do quadrado
y = L² = (x/4)² = x²/16
Razão= área hexágono/quadrado =
x².√3/24/ x²/16 = 16.√3/24 = 2.√3/3
Boa tarde!
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- Você precisa saber o que é uma figura regular, isso vai te ajudar bastante para que possamos iniciar nossa resolução.
- Um polígono regular é aquele que é equiângulo e equilátero, ou seja, possui todos os seus lados e ângulos congruentes, portanto todos os ângulos são iguais entre si e todos os lados são semelhantes entre si.
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- O quadrado é aquela figura que possui 4 lados, sendo que todos eles são congruentes, sem alteração.
- O hexágono regular é aquele formado por 6 triângulos equiláteros.
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Dados para resolução:
→ O enunciado diz que o perímetro de ambas as figuras são iguais, ou seja, tanto o quadrado quanto o hexágono regular, possuem o mesmo tamanho, isso quando considerado uma volta completa em redor das referidas figuras,o que é basicamente a medida de todos os lados(perímetro).
→ Sabendo que o enunciado não nos oferece valor algum, nós conhecemos esse valor como (x), mas nesse caso podemos supor esse valor.
→Para resolução desse problema, vamos considerar o valor; (x=8cm)
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Vamos a resolução:
→ O primeiro e mais fácil meio de começar, é encontrando o lado da figura quadrada.
→veja bem: o quadrado tem quatro lados e nós temos o perímetro que supomos como valor da medida ('x')...
→ Se nós temos em mente que o perímetro de uma figura é a soma de todos os lados dessa mesma, podemos concluir que o lado do quadrado é o perímetro(8) divido por quatro(4).
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Em busca do lado do quadrado:
L=p/4
L=8/4
L=2cm(cada lado)
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Em busca área do quadrado:
A=l²
A=2²
A=4cm²
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- Agora que temos a área do quadrado, vamos utilizar o valor encontrado somente no final da nossa resolução.
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Vamos a segunda parte da resolução:
→ Para calcular a área da nossa figura, que no caso é o hexágono regular, nós precisaremos encontrar a área de um dos seus triângulos equiláteros.
→ Bacana, agora que nós já temos o valor da área de um dos 6 triângulos equiláteros que formam a nossa referida figura, basta multiplicarmos o que foi encontrado por 6.
→ Se nós temos em mente que o perímetro de uma figura é a soma de todos os lados dessa mesma, podemos concluir que o lado do hexágono regular que estamos trabalhando, é o perímetro(8) divido por quatro(6).
Em busca do lado do hexágono regular:
L=p/6
L=8/6
L=4/3 (simplificado)
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Em busca área do hexágono regular:
→ Primeiro encontramos a área de um dos triângulos equiláteros que forma a figura.
A=l²√3/4
A=(4/3)²√3/4
A=16/9√3/4
A=16√3/9·1/4
A=16√3/36
A=4√3/9 (Área de apenas um triângulo)
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Área da figura inteira:
A=4√3/9·6
A=24√3/9
A=8√3/3 (área do hexágono regular)
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- o enunciado pede a razão, ou seja, divisão ou fração da área da figura hexagonal com a área da figura quadrangular.
Dados para resolução:
Área do hexágono regular → 8√3/3
Área do quadrado → 4
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Resolução:
R = 8√3/3/4
R = 8√3/3·1/4
R = 8√3/12
R=2√3/3 → resposta
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Att;Guilherme Lima