Question

O professor de Lucas propôs o seguinte desafio á turma:"Para quais valores de k, com k∈Z, a igualdade sen(150°+2kπ)+(cos300°+2kπ)/tg(225°+2kπ)=1 é verdadeira?"A turma concluiu de que para todo valor de k a igualdade é verdadeira.A conclusão apresentada pelos alunos está correta? justifique.

Answer 1

Com k∈Z, qualquer valor de k não vai alterar o valor das relações trigonométricas porque 2 π rad é uma volta inteira. Independente de quantas voltas forem feitas para frente ou para trás o valor de seno cosseno e tangente será o mesmo. Portanto só precisamos descobrir se a equação é verdadeira para um valor, se for para um, é para todos. Vou fazer com k = 0


$\mathsf{\dfrac{sen\ (150^{\circ}+2\cdot 0\cdot \pi)+cos\ (300^{\circ}+2\cdot 0\cdot \pi)}{tg\ (225^{\circ}+2\cdot0\cdot \pi)}=1}\\\\\\\\ \mathsf{\dfrac{sen\ (150^{\circ})+cos\ (300^{\circ})}{tg\ (225^{\circ})}=1}\\\\\\\\ \mathsf{sen\ (150^{\circ})+cos\ (300^{\circ})=tg\ (225^{\circ})}$

___________


Como normalmente não sabemos esses valores, vamos calcular


•  Sen 150º:


$\mathsf{sen(90^{\circ}+60^{\circ})=sen\ 90^{\circ}\cdot cos\ 60^{\circ}+sen\ 60^{\circ}\cdot cos\ 90^{\circ}}\\\\ \mathsf{sen(90^{\circ}+60^{\circ})=\dfrac{1}{2}}$


•  Cos 300º:


$\mathsf{cos\ 300^{\circ}=cos\ (-60^{\circ})=cos\ 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}}$


•  Tg 225º:


$\mathsf{tg\ 225^{\circ}=tg\ (180^{\circ}+45^{\circ})=tg\ 45^{\circ}=1}$

===

Substituindo os valores encontrados


$\mathsf{sen\ (150^{\circ})+cos\ (300^{\circ})=tg\ (225^{\circ})}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\qquad \checkmark}$


Resposta: Para qualquer valor de x a igualdade é verdadeira


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :)

Answer 2

A conclusão está correta. Para chegar a essa reposta, é necessário entender como as funções trigonométricas funcionam e o que significa 2kπ, com k ∈ Z.

Analisando funções trigonométricas

A conclusão está correta. Qualquer valor de k, dentro do conjunto dos números inteiros (k ∈ Z), satisfaz a equação.

Isso acontece porque 2π representa uma volta completa no círculo trigonométrico. Então, qualquer ângulo somado a 2kπ, com k = 1, 2, 3... resulta no mesmo ângulo, pois 2kπ representa k voltas no círculo trigonométrico.

Sendo assim, temos:

• cos(x) = cos(x + 2kπ)
• sen(x) = sen(x + 2kπ)
• tg(x) = tg(x + 2kπ)

para k ∈ Z.

Para aprender mais sobre trigonometria, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/20622711

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