Question

A equação z² + (4-2i)z - 8i = 0 apresenta duas raízes distintas z1 e z2. Determine o log (logaritmo natural) de ambas as raízes.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Avengercrawl, que temos a seguinte equação:

z² + (4-2i)z - 8i = 0 ----- vamos efetuar o produto indicado:
z² + 4z - 2zi - 8i = 0 ---- veja: em "z²+4z" vamos pôr "z" em evidência; e em -2zi-8i" vamos por "-2i" em evidência. Com isso, iremos ficar da seguinte forma:

z*(z+4) - 2i*(z+4) = 0 ---- agora poremos "z+4" em evidência, com o que ficaremos assim:

(z+4)*(z-2i) = 0 ---- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
z+4 = 0 ---> z₁ = - 4

ou
z-2i = 0 ---> z₂ = 2i.

Assim, como você está vendo aí em cima, temos que as raízes serão estas:

z₁ = - 4; e z₂ = 2i.

Agora veja: está sendo pedido o logaritmo natural de ambas as raízes.
Note que, no âmbito dos números reais, só há logaritmo de números reais positivos. Como "-4" é um número real negativo , e como "2i" é um número complexo, então não haverá, no âmbito dos Reais, logaritmo natural de nenhuma das duas raízes encontradas.
Bem, já vimos que no âmbito dos Reais não há solução.
Mas vamos para o âmbito dos complexos e vamos encontrar qual seria o logaritmo natural de ambas as raízes.

i) Para a 1ª raiz, que é z₁ = - 4, note que temos aqui um complexo que, se for colocado na forma z = a + bi, ficará sendo:

z₁ = -4 + 0i ---- vamos encontrar o seu módulo, que será: |z₁| = √((-4)²+(0)²) = √(16+0) = √(16) = 4 <--- Este será o módulo do complexo z₁ = -4 + 0i.
Agora vamos para o argumento "α", que é dado assim:

cos(α) = a/|z| --- como a = - 4 e |z| = 4, então ficaremos:
cos(α) = -4/4
cos(α) = - 1
e
sen(α) = b/|z| ---- como b = 0 e |z| = 4, teremos:
sen(α) = 0/4 = 0

Agora note: o cosseno é igual a "-1" e o seno é igual ao zero apenas no arco de 180º (= π radianos). Então é por isso que o logaritmo (no âmbito dos complexos) foi dado como:

log (z₁) = log (-4) = log (4) + πi

ii) Para a 2ª raiz, que é z₂ = 2i, note que temos aqui um complexo que, se for colocado na forma z = a + bi, ficará sendo:

z₂ = 0 + 2i ---> |z| = √(0² + (2i)²) = √(0+2²) = √(4) = 2 <-- Este é o módulo de z₂ = 0+2i.

Vamos para o argumento:

cos(α) = a/|z| --- como a = 0 e |z| = 2, teremos:
cos(α) = 0/2
cos(α) = 0
e
sen(α) = b/|z| ---- como b = 2 e |z| = 2, teremos:
sen(α) = 2/2
sen(α) = 1

Agora veja: o cosseno é igual a zero e o seno é igual a "1" apenas no arco de 90º (ou π/2 radianos). Por isso é que o logaritmo encontrado nos âmbito dos complexos foi este:

log (z₂) = log (2i) = log (2) + (π/2)i

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.