Question

as medidas, em metro dos comprimentos dos lados de um triângulo formam uma progressao aritmética cuja a razao é igual a 1. Sabendo que a medida de um
dos ângulos internos deste triângulo é 120º, determine o perímetro do triângulo.

Answer 1

Podemos representar o triângulo do problema de acordo com a imagem abaixo.

Utilizando a Lei dos Cossenos, temos que:

(x + 1)² = x² + (x - 1)² - 2.x.(x - 1).cos(120)

(x + 1)² = x² + (x - 1)² + x(x - 1)

x² + 2x + 1 = x² + x² - 2x + 1 + x² - x

2x² - 5x = 0

x(2x - 5) = 0

Daí, existem dois valores para x: 0 e $\frac{5}{2}$.

Podemos descartar x = 0, pois x é uma das medidas do triângulo.

Logo, $x= \frac{5}{2}$.

Lembrando que perímetro é igual a soma de todos os lados do polígono, temos que o perímetro do triângulo é igual a:

$2p=\frac{5}{2}+ \frac{5}{2}-1+ \frac{5}{2}+1= \frac{15}{2} = 7,5 cm$