Question

simplifique f(x+h)-f(x)/h h diferente de 0 sendo f(x) igual 1/x+2
como faço pra responder ?

Answer 1

Calcular a razão incremental da função

     $\mathsf{f(x)=\dfrac{1}{x+2}}$


Então, temos

     $\mathsf{\dfrac{\Delta f}{\Delta x}=\dfrac{\Delta f}{h}=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{\frac{1}{(x+h)+2}-\frac{1}{x+2}}{h}}\\\\\\ =\mathsf{\left[\dfrac{1}{(x+h)+2}-\dfrac{1}{x+2} \right ]\cdot \dfrac{1}{h}}$


Reduza as frações entre colchetes ao mesmo denominador comum:

     $=\mathsf{\left[\dfrac{x+2}{\big((x+h)+2\big)\cdot (x+2)}-\dfrac{(x+h)+2}{\big((x+h)+2\big)\cdot (x+2)}\right]\cdot \dfrac{1}{h}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{x+2-\big((x+h)+2\big)}{\big((x+h)+2\big)\cdot (x+2)}\cdot \dfrac{1}{h}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{x+2-(x+h)-2}{\big((x+h)+2\big)\cdot (x+2)}\cdot \dfrac{1}{h}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{\diagup\!\!\!\! x+\diagdown\!\!\!\! 2-\diagup\!\!\!\! x-h-\diagdown\!\!\!\! 2}{\big((x+h)+2\big)\cdot (x+2)}\cdot \dfrac{1}{h}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{-\,h}{\big((x+h)+2\big)\cdot (x+2)}\cdot \dfrac{1}{h}}$


Simplifique o  h  que aparece no numerador e no denominador  (pois  h  é diferente de zero):

     $=\mathsf{\dfrac{-\diagup\!\!\!\! h}{\big((x+h)+2\big)\cdot (x+2)}\cdot \dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! h}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{-\,1}{\big((x+h)+2\big)\cdot (x+2)}}$

     $=\mathsf{-\,\dfrac{1}{\big((x+h)+2\big)\cdot (x+2)}}$   <————   esta é a resposta.


Bons estudos! :-)