Question

FUVEST) Nos triângulos retângulos da figura, AC = 1 cm, BC = 7 cm, AD = BD. Sabendo que sen (a - b) = sen a cos b - cos a sen b, o valor de sen x é?
resposta é letra c

Answer 1

O ângulo A é formado pelos ângulos x+y . Vou determinar o valor de y para depois descobrir o valor de x.
cos(x+y)=AC/AB (1)

ΔABC
AB²=BC²+CA²
Foram dados BC=7 e CA=1
AB²=7²+1²=50 ==> AB=√50
De (1)
cos(x+y)=AC/AB ==> cos(x+y)=1/√50 (2)

ΔABD
Foi dado que BD=AD ==> Isósceles
Sendo isósceles os ângulos internos são:
y+y+90°=180° ==>2y=90° ==> y=45°

inserindo y em (2)
cos(x+y)=1/√50 ==> cosxcosy-senxseny=cosxcos45°-senxsen45°=√2/2cosx-√2/2senx=√2/2(cosx-senx)=1/√50 ==> (cosx-senx)=2/√100=1/5 ==>
cosx-senx = 1/5 (3)
Relação fundamental: sen²α+cos²α=1 ==> sen²α=1-cos²α ==>
cosα=+/-√(1-sen²α) 
cosx=+/-√(1-sen²x) (4)
Inserindo (4) em (3)
cosx-senx = 1/5 ==>+/-√(1-sen²x)-senx = 1/5 ==> +/-√(1-sen²x)-senx = 1/5 ==>
+/-√(1-sen²x) = 1/5+senx ==> (+/-√(1-sen²x))² = (1/5+senx)² ==>
1-sen²x=1/25+2/5senx+sen²x ==> 2sen²x+2/5senx+25/25-1/25=0 ==> 2sen²x+2/5senx-24/25=0 dividindo por 2 e multiplicando por 25 temos:
25sen²x+5senx-12=0
Δ = 5²-4(25)(-12)=25+1200=1225
√Δ=√1225=35
senx'=(-5+35)/2(25)=3/5
senx''=(-5-35)/2(25)=-4/5

Resposta: Alternativa c)

Obs. A solução para senx=-4/5 resultaria num ângulo maior do que 270° o que não corresponde a figura.

Answer 2

Pelo Teorema de Pitágoras, temos no triângulo retângulo $ABC$ que:

$AB^2=AC^2+BC^2 \iff AB^2=1^2+7^2 \iff AB^2=+1+49$

$AB^2=50 \iff AB=\sqrt{50} \iff AB=5\sqrt{2}~\texttt{cm}$

Como o triângulo retângulo $ADC$ é isósceles, temos que seus ângulos agudos medem $45^{\circ}$.

Logo, $\measuredangle BAD=45^{\circ}$, sabemos que $\texttt{sen}~45^{\circ}=\texttt{cos}~45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

No triângulo $ABC$, temos que 

$\texttt{sen}\measuredangle \ BAC=\dfrac{BC}{AB} \iff \texttt{sen}\measuredangle \ BAC=\dfrac{7}{\sqrt{50}}=\dfrac{7\sqrt{50}}{50}$

$\texttt{cos}\measuredangle BAC=\dfrac{AC}{AB} \iff \texttt{cos}\measuredangle \ BAC=\dfrac{1}{\sqrt{50}}=\dfrac{\sqrt{50}}{50}$

Sendo $x=\measuredangle \ BAC-45^{\circ}$, segue que:

$\texttt{sen}~(a-b)=\texttt{sen}~a\cdot\texttt{cos}~b-\texttt{cos}~a\cdot\texttt{sen}~b$

$\texttt{sen}~x=\texttt{sen}\measuredangle \ BAC\cdot\texttt{cos}~45^{\circ}-\texttt{cos}\measuredangle \ BAC\cdot\texttt{sen}~45^{\circ}$

$\texttt{sen}~x=\dfrac{7\sqrt{50}}{50}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{50}}{50}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\texttt{sen}~x=\dfrac{7\sqrt{100}}{100}-\dfrac{\sqrt{100}}{100}$

$\texttt{sen}~x=\dfrac{70}{100}-\dfrac{10}{100}=\dfrac{60}{100} \iff \boxed{\texttt{sen}~x=\dfrac{3}{5}}$