Question

Num triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa mede 4m e 1m, respectivamente. Calcule o perímetro desse triângulo.

Answer 1

Vamos  lá.

Veja, Camilly, que a resolução é simples.
Antes note que, num triângulo retângulo temos as seguintes relações métricas principais, chamando-se a hipotenusa de "a", os catetos de "b" e "c", a altura de "h" e as projeções da altura sobre a hipotenusa de "m" e "n":

a² = b² + c²     . (I)
b*c = a*h        . (II)
h² = m*n         . (III)
b² = a*m         . (IV)
c² = a*n           . (V)
a = m + n         . (VI)

Como você vê, com a utilização das relações métricas acima, poderemos encontrar todas as informações que quisermos sobre um triângulo retângulo.
Bem, agora vamos à sua questão, que é esta: calcule o perímetro de um triângulo retângulo, sabendo-se que as projeções ("m" e "n") sobre a hipotenusa medem, respectivamente: 4m e 1m.

i) Pela expressão (VI), temos que:

a = m + n ----- substituindo-se "m" por "4" e "n" por "1", teremos:
a = 4 + 1
a = 5 metros --- Esta é a medida da hipotenusa "a".

ii) Agora vamos para a expressão (IV), que é esta:

b² = a*m ----- substituindo-se "a" por "5" e "m" por "4", teremos:
b² = 5*4
b² = 20
b = ± √(20) ---- veja que 20 = 2².5 . Assim:
b = ± √(2².5) ---- o "2", por estar ao quadrado, sai de dentro da raiz quadrada. Logo:

b = ± 2√(5) ---- como a medida de um cateto não pode ser negativa, então tomaremos apenas a medida negativa e igual a:

b = 2√(5) metros <--- Esta é a medida do cateto "b".

iii) Agora vamos para a expressão (V), que é esta:

c² = a*n ---- substituindo-se "a' por "5" e "n" por "1", teremos:
c² = 5*1
c² = 5
c = ± √(5) ---- como a medida de um cateto não pode ser negativa, então tomaremos apenas a medida positiva e igual a:

c = √(5) metros <--- Esta é a medida do cateto "c".

iv) Assim, já temos todas as informações para o cálculo do perímetro (P) do triângulo retângulo da sua questão (veja que o perímetro de qualquer polígono é a soma dos lados desse polígono). Veja que já temos que a hipotenusa é igual a 5 metros, o cateto "b' é igual a 2√(5) metros e o cateto "c" é igual a √(5) metros.
Logo, o perímetro (P) do triângulo retângulo da sua questão será este:

P = 5 + 2√(5) + √(5) ----- como 2√(5) + √(5) = 3√(5), teremos:
P = (5 + 3√5) metros <--- Esta é a resposta. Este é o perímetro pedido.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.