Question

Um decaedro convexo possui todas as faces quadrangulares. Determinar o numero de vertices desse poliedro.

Answer 1

Primeiro vamos descobrir o número de arestas da figura

•  n = 4 (número de lados de cada face)

•  F = 10 (número de faces de um decágono)


$\mathsf{A=\dfrac{n\cdot F}{2}}\\\\\\ \mathsf{A=\dfrac{4\cdot 10}{2}}\\\\\\ \mathsf{A=20}$

__________


Com isso podemos saber o número de vértices pela relação de Euler

$\mathsf{V+F=A+2}\\\\ \mathsf{V + 10 = 20 + 2}\\\\ \mathsf{V = 22-10}\\\\ \boxed{\mathsf{V =12}}$


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Bons estudos! :)

Answer 2

O número de vértices desse poliedro denominado decaedro é igual a 12.

Poliedros são figuras geométricas com diferentes faces planas, assim um poliedro de dez faces é um decaedro, neste caso possui faces quadrangulares, ou seja, de 4 lados iguais.

Para determinar o número de vértices que ele possui deve-se usar a relação de Euler, a qual permite calcular as partes que forma um poliedro a partir do número de arestas (a), vértices (v) e faces (f), por exemplo.

                                         $\boxed{V + F = A + 2 }$

Assim, neste caso sabemos:

• F = 10

• numero de lados por face: 4

Calculamos o número de arestas:

                                             $N_{A} =\frac{ N_{l}\;*\;F}{2}\\\\N_{A} = \frac{4\;*\;10}{2} \\\\\boxed{N_{A} = 20}$

Finalmente, aplicamos a relação de Euler para achar o número de vértices:

                                       $V + F = A + 2\\\\V + 10 = 20 + 2\\\\V = 22 -10\\\\\boxed{V = 12}$

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