Question

Seja n > 4 um número natural composto, prove que n divide (n - 2)!

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Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

Se $n$ é composto, temos que $n=p_1p_2p_3\dots p_k$, sendo $p$ e $q$ primos.

Há duas possibilidades:

$\bullet~~$ Se $p_i\ne p_j$, com $1\le i,j\le k$, temos que $p_i<n-1$, para todo $1\le i\le k$. Logo, $p_1~|~(n-2)!,~p_2~|~(n-2)!, \dots, p_k~|~(n-2)!$ e, portanto, $n~|~(n-2)!$

$\bullet$ Se $p_1=p_2=p_3=\dots=p_k$, temos $n=p^{k}$. Como $p<kp<n-1$, podemos afirmar que $p^k~|~(n-2)!$, e por consequência, $n~|~(n-2)!$.

$*$ $p<kp<n-1$

De fato, pois $n-1=p^{k}-1$ e $p^{k}-1>kp$, com $k>1$.

Para $k=2$, $p^2-1>p$, que é verdade para todo $p>\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

Supondo que $p^{k}-1>kp$ seja verdade, precisamos provar que $p^{k+1}-1>(k+1)p/tex]. Multiplicando os dois lados da desigualdade [tex]p^{k}-1>kp$ por $p$:

$p^{k+1}-p>kp^2 \iff p^{k+1}>kp^2+p \iff p^{k+1}>(kp+1)p$

$p^{k+1}-1>(kp+1)p-1$

Mas, $(kp+1)p-1=kp^2+p-1>(k+1)p$, pois $kp^2-kp>1$

Logo, $p^{k+1}-1>(k+1)p$ e, portanto, $p<kp<n-1$, concluindo que $n~|~(n-2)!$.

Answer 2

vResposta:

Explicação passo-a-passo:Resposta:

Explicação passo-a-passo:Resposta:

Explicação passo-a-passo: