03) (FGV-2017) O quadrado PQRS está inscrito em um círculo de centro C. A corda intersecta a diagonal do quadrado em A, sendo que QA 6 cm e AB 4 cm. Nas condições descritas, a medida do lado do quadrado PQRS em cm, é igual a
a)2 10.
b)5 2.
c)2 15.
d)6 2.
e)7 2.
Respostas
seja x o lado do quadrado
a diagonal PR = √a*x
propriedade das cordas
AB*AQ = AR*AP
6*4 = y*(√2*x - y)
y² - √2*xy = -24
triangulo AQR pela a lei dos cossenos
6² = x² + y² - 2xy*cos(45)
36 = x² + y² - √2*xy
36 = x² - 24
x² = 36 + 24 = 60
x = √60 = 2√15 (C)
A medida do lado do quadrado PQRS em cm, é igual a 2√15.
Alternativa C.
Explicação:
Sendo L a medida do lado do quadrado, a medida de sua diagonal é:
d = L√2
Pela figuras podemos perceber a intercepção entre duas cordas.
Pelas propriedades, "se duas cordas se interceptam, o produto das medidas dos segmentos de uma dela é igual ao produto das medidas dos segmentos da outra". Logo:
x · y = 4 · 6
xy = 24
ou...
y = 24
x
A diagonal também é a soma de x e y. Logo:
d = x + y
d = x + 24
x
d = x² + 24
x
L√2 = x² + 24
x
x.L√2 = x² + 24
√2xL = x² + 24
Pela lei dos cossenos no triângulo AQR, temos:
6² = x² + L² - 2.x.L.cos 45°
36 = x² + L² - 2.x.L.√2/2
36 = x² + L² - √2x.L
Substituindo...
36 = x² + L² - (x² + 24)
36 = L² - 24
L² = 36 + 24
L² = 60
L = √60
L = 2√15
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