Question

Suponha que 10% das pessoas de uma população
sejam usuárias de drogas. Um teste para detectar a
presença de drogas produz resultados positivos
corretos para 95% dos usuários de drogas que se
submetem ao teste, e produz resultados negativos
corretos para 95% dos não usuários de drogas. Se
uma das pessoas da população é escolhida ao acaso,
e o resultado do teste é positivo, qual a probabilidade
percentual de a pessoa ser usuária de drogas?
A) 66%
B) 68%
C) 70%
D) 72%
E) 74%

Answer 1

Prob sem teste de ser usuária de drogas = 10%
Prob do teste ser correto em caso positivo = 95%
Prob do teste ser correto em caso negativo = 95%
Prob do teste ser incorreto na população não usuária = [5%*90%]

Prob  =  [95% * 10%] / ([95% * 10%]  + [ 5%*90%]) = 68%

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A probabilidade de ocorrer algo é basicamente a divisão entre o número de casos favoráveis divididos pelo número de casos possíveis. 

Assim é fácil perceber que a chance ao jogar um dado e cair um número 2 é de 1/6, afinal temos 1 único caso favorável entre 6 casos possíveis.

Agora voltemos ao exercício:

Quais são os casos favoráveis? 
-Quando o teste funciona em uma pessoa que realmente é usuária de drogas;
Sabemos que a chance disso ocorrer 10% * 95%, isso é selecionar uma pessoa que realmente faz uso de drogas(10% de chance) vezes a probabilidade de o teste nessa pessoa dar certo.

Agora quais são os casos possíveis?
-A chance de pegar uma pessoa que realmente é usuária de drogas, como já vimos acima é uma possibilidade. No entanto existe ainda a possibilidade de pegarmos uma pessoa que não é usuária (90% da população) e que o teste de errado (5%) e marque positivo para essa pessoa. Entendeu? Então temos 90%*5% = chance do teste dar positivo em uma pessoa não usuária de drogas!

Então temos dois casos possíveis:

a pessoa realmente é usuária de drogas e o teste deu positivo, corretamente.
+
a pessoa não é usuária, mas o teste deu falso-positivo.

Logo,lembra o que eu disse? 

Probabilidade = casos favoráveis / casos possíveis 

Probabilidade = 10% * 95* / [ 10% * 95* + 90% *5%]

Ficou mais claro?