Question

determine todos os pontos da curva y=6/x em que a tangente e paralela a reta 2x+3y+1=0

Answer 1

Queremos que a reta tangente a $y=\frac{6}{x}$ em um ponto $x_0$ seja paralela a reta $r:2x+3y+1=0$, ora, calculemos então o coeficiente angular da reta $r$:

$</span>2x+3y+1=0$
$y=-\frac{2x}{3}-\frac{1}{3}<span>$
$\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{3}<span>$

Logo o coeficiente angular da reta $r$ é $-\frac{2}{3}$, busquemos então um ponto $(x_0,y_0)$ na curva $y=\frac{6}{x}$ cuja reta tangente nesse ponto tenha o mesmo coeficiente angular da reta:

Queremos que $x_0$ seja um ponto de f tal que $f'(x_0)=-\frac{2}{3}$, mas $f'(x)=-\frac{6}{x^2}$, o que nos leva a escrever:

$-\frac{6}{x_0^2}=-\frac{2}{3}$
$2x_0^2=18$
$x_0^2=9$
$x_0=\pm{3}$

$f(3)=\frac{6}{3}=2$
$f(-3)=\frac{6}{-3}=-2$

Portanto $(3,2)$ e $</span>(-3,-2)$ são os pontos sobre a curva onde a tangente é paralela a reta $r$.