Question

4) (UFRJ) Dois corpos A e B deslocam-se do ponto (7, 10) para o ponto (3, 2) mantendo-se sempre, a cada instante, em uma vertical. O corpo A desloca-se sobre a parábola de equação ;y= x²-8x=17 a trajetória de B é uma reta.


a) Determine a equação da trajetória B;
b) Seja f(x) a função que determina a distancia entre os corpos A e B para cada x. Encontre f(x);
c) Determine o valor de x para o qual a distância entre os dois corpos é máxima.

Answer 1

Fornecidos:
A(7, 10) e B(3, 2)
y= x²-8x+17
a) A equação da trajetória do corpo B é uma reta, ou uma função do 1o grau. Desta forma é do tipo f(x) = ax+b. Como os pontos A e B passam por esta reta vamos determinar as constantes a e b.
f(x) = ax+b
Para o ponto A(7,10)
f(7)=a*7+b=10 ==> 7a+b=10
Para o ponto B(3,2)
f(3)=a*3+b=2 ==>   3a+b=2
Vamos resolver o sistema formado:
{7a+b=10
{3a+b=2
Multiplicando a segunda equação por -1 e somando com a primeira:
7a+b=10
-3a-b=-2
_________+
4a+0=8         ==> a=2
Substituindo o valor de a=2 na primeira equação:
7a+b=10 ==> 7*(2)+b=10 ==> b=-4

f(x)=ax+b
f(x)=2x-4
Resposta: f(x)=2x-4

b)
Observe no gráfico que a distância dos corpos A e B ocorre para um mesmo valor de x. O que varia é o valor de y para cada corpo. Assim sendo, podemos chamar de f(x) a diferença das equações da reta (corpo B) e da parábola (corpo A), ou seja:
f'(x)=(2x-4)  ==> equação da reta ==> corpo B
f''(x) = y= x²-8x+17 ==> equação do 2o. grau ==> corpo A
f(x)=f'(x)-f''(x) 
f(x)=(2x-4)-(x²-8x+17)=2x-4-x²+8x-17=-x²+10x-21

Resposta: f(x)=-x²+10x-21

c) Como a distância entre os dois corpos foi determinada no item b) o seu valor máximo ocorre na vértice desta função. 
yv=-Δ/4a
Δ =b²-4(a)(c)
A função: -x²+10x-21
Δ=10²-4(-1)(-21)=100-84=16
yv=-Δ/4a=-16/4(-1)=4

Resposta: A máxima distância entre os corpos A e B é 4.