Question

Um quadrado deve ser construído sobre a hipotenusa a de um triângulo retângulo de catetos b e c, conforme representado na figura.

Sabendo que b+c= 10cm , determine a, b e c, para que a área desse quadrado seja mínima.

Answer 1

Pelo Teorema de Pitágoras $a^2=b^2+c^2$.

Temos que, $b+c=10$, elevando os dois lados ao quadrado:

$(b+c)^2=10^2 \iff b^2+2bc+c^2 = 100$

Substituindo $b^2+c^2$ por $a^2$, obtemos:

$a^2+2bc =100 \iff a^2 = 100-2bc$

Assim, a área do quadrado construído, $a^2$ será mínima quando $bc$ for máximo.

O maior valor de $bc$ com $b+c=10$ é $25$, com $b=c=5$.

Seja $y=bc$. De $b+c=10$, obtemos $b=10-c$, substituindo:

$y=bc \iff y=(10-c)c \iff y=-c^2+10c$

O maior valor de $y$ é:

$y_v =\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-(10^2-4\cdot(-1)\cdot0)}{4(-1)}$

$y_v=\dfrac{-100}{-4} \iff y_v=25$

Assim

$a^2=5^2+5^2 \iff a^2=25 + 25 \iff a^2=50$

$a=\sqrt{50} \iff a=2\sqrt{5}$

Portanto, $a=2\sqrt{5}$ e $b=c=5$ centímetros