Question

(IFAL) Podemos dizer que uma forma trigonométrica de representar o número complexo 5+5i/2-2i é:

A resposta é Z= 5/2 . (cos pi/2 + i.sen pi/2)

Eu consegui fazer os cálculos até 5/2, gostaria da explicação sobre os valores do cosseno e seno.

Answer 1

Olá,


Vamos efetuar essa divisão

$\mathsf{z=\dfrac{5+5i}{2-2i}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{(5+5i)\cdot (2+2i)}{(2-2i)\cdot (2+2i)}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{10+10i+10i-10}{4-4i^{2}}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{20i}{4-4(-1)}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{20i}{8}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{5i}{2}}$

__________


Um número complexo pode ser representado por

$\mathsf{z = a + bi}$


O número em questão é

$\mathsf{z = 0 + \dfrac{5}{2}\cdot i}$

a = 0           b = 5 / 2


O módulo do número |z| pode ser calculado por

$\mathsf{|z|= \sqrt{a^{2}+b^{2}} }\\\\ \mathsf{|z|= \sqrt{0+ \left(\frac{5}{2}\right) ^{2}} }\\\\ \mathsf{|z|=\dfrac{5}{2}}$


O argumento, ou seja, o ângulo de seno e também de cosseno pode ser encontrado por trigonometria

$\mathsf{sen\ \theta=\dfrac{b}{|z|}}\\\\\\ \mathsf{sen\ \theta=\dfrac{5/2}{5/2}}\\\\\\ \mathsf{sen\ \theta=1}\\\\\\ \mathsf{\theta=90^{\circ}}\\\\\\ \mathsf{\theta=\dfrac{\pi}{2}}$


Portanto a forma trigonométrica é

$\mathsf{z=|z|\cdot (cos\ \theta+i\cdot sen\ \theta)}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{z= \dfrac{5}{2} \cdot \left(cos\ \dfrac{\pi}{2}+i\cdot sen\ \dfrac{\pi}{2}\right)} \end{array}}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)