Question

VALENDO 25 PONTOS

Escreva as equações do plano que contém a reta x = 1 + 8λ, y = 5 − 6λ, z = −1 − 2λ e a

reta interseção dos planos x + y + z = 2 e 2x + 3y − z = 4.

Answer 1

Boa noite!

Primeiramente, vamos verificar se a reta dada está na interseção entre os planos (retas coincidentes):

Substituindo-se o valor de x, y e z da reta em ambas as equações dos planos:
$(1+8\lambda)+(5-6\lambda)+(-1-2\lambda)=2\\1+5-1=2\\5=2$ FALSO

Veja, então, que não um valor de lambda que satisfaça tal equação, portanto, a reta é PARALELA ao plano citado. (sem ponto comum)

Verificando com relação ao outro plano:
$2(1+8\lambda)+3(5-6\lambda)-(-1-2\lambda)=4\\2+16\lambda+15-18\lambda+1+2\lambda=4\\2+15+1=4\\18=4$ falso, portanto, novamente a reta é também PARALELA a este plano (sem ponto comum)

Sendo paralela a ambos os planos, será paralela também a sua interseção.
Verificando:
Da primeira reta tiramos um vetor diretor:
$\vec{d_1}=(8,-6,-2)$

A interseção entre dois planos possui um vetor diretor obtido pelo produto vetorial entre as normais dos planos. Então:
$\vec{n_1}=(1,1,1)\\\vec{n_2}=(2,3,-1)\\\vec{d_2}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}\\\vec{d_2}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&1\\2&3&-1\end{vmatrix}\\\vec{d_2}=(-4,3,1)$

Agora que temos dois vetores 'diretores' do plano, podemos fazer o produto vetorial entre eles e obter o vetor normal do plano. Assim:
$\vec{n}=\vec{d_1}\times\vec{d_2}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\8&-6&-2\\-4&3&1\end{vmatrix}\\\vec{n}=(0,0,0)$

O motivo do produto vetorial ter dado o vetor nulo é pelo fato de ambos os vetores diretores são PARALELOS entre si (veja que são vetores proporcionais), isto é, $\vec{d_1}=-2\vec{d_2}$

Então, para obtermos o que se pede devemos tomar outro caminho.
Encontremos a equação da reta interseção dos planos:
Já sabemos o seu vetor diretor, (-4,3,1), então, basta encontrarmos um ponto desta reta:
$x+y=2-z\\2x+3y=4+z$

Multiplicando-se a primeira equação por -2 e somando-se à segunda:
$y=3z$

Substituindo-se na primeira:
$x=2-4z$

Então:
$x=2-4\beta\\y=3\beta\\z=\beta$
Veja que bate com o vetor diretor já encontrado anteriormente.

Fácil obter um ponto agora da reta: (beta = 0)
$(2,0,0)$

Agora, para obter a equação do plano, irei obter um ponto da outra reta: (lambda = 0)
$(1,5,-1)$

E, com este ponto, formar um vetor:
$(2,0,0)-(1,5,-1)=(1,-5,1)$

Este vetor pode ser utilizado para efetuar o produto vetorial com o vetor diretor da reta, já que não é paralelo à mesma, então:
$\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-4&3&1\\1&-5&1\end{vmatrix}=(8,5,17)$

Então, o vetor normal ao plano solicitado foi encontrado. Como temos um ponto deste plano (2,0,0):
$8x+5y+17z+d=0\\8(2)+d=0\\d=-16\\8x+5y+17z-16=0$

Verificando para outro ponto:(1,5,-1)
$8(1)+5(5)+17(-1)-16=0\\8+25-17-16=0\\33-33=0\\0=0$ OK

Espero ter ajudado! (UFA)