Question

Os pontos de coordenadas (a, b) e (c, d) estao representados
a seguir no plano cartesiano, em que as retas tracejadas sao as bissetrizes
dos respectivos quadrantes. Nessas condicoes, determine em qual quadrante
se encontra o ponto de coordenadas (a + b , c − d).

Answer 1

Considerando que os valores de x e y estão na mesma escala podemos notar que:

Para um ponto estar no segundo quadrante então os valores possíveis para x e y é tal que: {x ∈ R, y ∈ R | x < 0 e y > 0}

Para um ponto estar no terceiro quadrante então os valores possíveis para x e y é tal que: {x ∈ R, y ∈ R | x < 0 e y < 0}

Então os valores dos pontos são:

(A,B) = (-x₁,y₁) ⇒ segundo quadrante
(C,D) = (-x₂,-y₂) ⇒ terceiro quadrante

Sabendo disso podemos verificar que:

A < 0
B > 0
C < 0
D < 0

Como dito no início estamos considerando que o plano cartesiano em suas coordenadas estão na mesma escala então podemos quantificar a magnitude dos valores (x,y) dos pontos representados no gráfico. Essa magnitude pode ser expressa com o módulo do valor x e do valore y.

O problema relaciona  (A + B, C − D) então nos interessa a relação binária dos valores (A com B) e (C com D).

|A| > |B| pois vemos que a ordenada x está mais afastada do eixo central do que a ordenada y.

|C| > |D| pois vemos que a ordenada x está mais afastada do eixo central do que a ordenada y.

Vamos as somas:
A + B = -x₁ + y₁, sendo que |-x₁| > |y₁| então A + B = -x₁ + y₁ < 0
C - D = -x₂ - (-y₂), sendo que |-x₂| > |-y₂| então C - D = -x₂ + y₂ < 0

As operações com os valores resultam um novo ponto (K, Z).
(A + B, C − D) = (K, Z)

K = A + B < 0
Z = C − D < 0

(K, Z) = (-x₃,-y₃) ⇒ terceiro quadrante.

Resposta: O ponto de coordenadas (A + B , C − D) está no terceiro quadrante.