Question

RESPONDA SE SOUBER E BEM EXPLICADO
SE NÃO EU DENUNCIO E EXCLUO A RESPOSTA
VALENDO 100 PONTOS

Um inteiro é dito ser um quadrado perfeito quando é o quadrado de um inteiro.Mostre que:
Se um inteiro é um quadrado perfeito e é divisível por $3$, então também é divisível por $9$.
Todo inteiro positivo de $146$ algarismos, sendo que $30$ algarismos são iguais a $1$, $100$ são iguais a $2$ e $16$ são iguais a $4$, não é um quadrado perfeito.
Dica para o item 2: use o item 1 e os critérios de divisibilidade por $3$ e por $9$).

SÓ RESPONDE SE SOUBER, SE NÃO EU MANDO UM MODERADOR APAGAR A RESPOSTA.

Answer 1

Seja $x$ um quadrado perfeito, isto é, $x=y^2$, com $y$ inteiro, e $x$ divisível por $3$. Então, $y$ é divisível por $3$, pois se não fosse, então ter-se-ia $y=3q+1$ ou $y=3q+2$, com $q$ inteiro. Mas, se $y=3q+1$, então $x=y^2=(3q+1)^2=3(3q^2+2q)+1$ não seria divisível por $3$, e se $y=3q+2$, então $x=y^2=(3q+2)^2=3(3q^2+4q+1)+1$ também não seria divisível por $3$. Assim, $y=3q$, para algum inteiro $q$, e $x=y^2=(3q)^2=9q^2$ é divisível por $9$. Alternativamente, seja $x$ um quadrado perfeito, isto é, $x=y^2$, com $y$ inteiro, e $x$ divisível por $3$. Como $x=y^2$ é divisível por $3$ e $3$ é primo, então $y$ é divisível por $3$. Assim, $y=3q$, para algum inteiro $q$, e $x=y^2=(3q)^2=9q^2$ é divisível por $9$.Sabemos que um número é divisível por $3$ se a soma de seus algarismos for divisível por $3$. A soma dos algarismos do número da questão é $30 + 200 + 64 = 294$, que é divisível por $3$.O critério de divisibilidade por $9$ é análogo, a soma dos algarismos do número deve ser divisível por $9$. Mas $294$ não é divisível por $9$, então o número da questão não é divisível por $9$. Pelo item 1, segue que o número dado não é um quadrado perfeito.

Espero ter ajudado

Answer 2

Seja $n=3k$ um quadrado perfeito divisível por $3$

Assim, existe um natural $m$, tal que $m^2=3k$, isto é, $m=\sqrt{3k}$

Como $m$ é natural, vemos que $3k$ deve conter pelo menos mais um fator $3$ para que $m$ seja natural.

Contendo esse fator $3$, teríamos que $n=3k$ seria divisível por $9$


Esse inteiro possui 146 algarismos, sendo 30 algarismos iguais a 1, 100 iguais a 2 e 16 iguais a 4.

A soma dos algarismos desse número é $30+100\cdot2+16\cdot4=30+200+64=294$

Como $294$ é divisível por $3$ (pois $294$ é divisível por $3$), mas não é por $9$, segue que, esse inteiro não pode ser um quadrado perfeito