Question

4) Considera um dado com formato de tetraedro regular:
a) tem 12 cm de aresta, determine a sua área total e a seu volume;
b) tem área total 12, raiz de 3 cm², calcule sua aresta;
c) no qual a soma das medidas das arestas é 12 cm, calcula a sua área lateral e a sua área total;
d) tem 15 cm de perímetro na base. Determine a sua área total

Answer 1

Boa noite!

Sendo tetraedro regular, todas as faces são triângulos equiláteros. Então:
a) Área total: 4 áreas de triângulos equiláteros.
$A=4\cdot\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}=l^2\sqrt{3}=12^2\sqrt{3}=144\sqrt{3}$

Volume: Primeiramente, temos que calcular a altura do tetraedro. A altura forma com o apótema da base e a altura da face lateral (apótema de uma pirâmide triangular) um triângulo equilátero, onde o apótema da base e a altura do tetraedro são os catetos e o apótema do tetraedro (altura de uma das faces laterais) a hipotenusa. Então:
$\left(\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\right)^2=\left(\dfrac{l\sqrt{3}}{6}\right)^2+h^2\\h^2=\dfrac{3l^2}{4}-\dfrac{3l^2}{36}=\dfrac{24l^2}{36}\\h=\dfrac{l\sqrt{6}}{3}$
Agora é só calcularmos o volume:
$V=\dfrac{1}{3}\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\dfrac{l\sqrt{6}}{3}=\dfrac{l^3\sqrt{2}}{12}=\dfrac{12^2\sqrt{2}}{12}=12\sqrt{12}$

b) Área total dada, calcular o valor da aresta:
$A_t=l^2\sqrt{3}\\12\sqrt{3}=l^2\sqrt{3}\\l=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

c) Tetraedro tem 6 arestas. Se sua soma vale 12, cada aresta mede 12/6=2cm.
Área lateral:
$A_l=3\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}=3\dfrac{2^2\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}$

Área total:
$A_t=l^2\sqrt{3}=2^2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$

d) Perímetro da base, triangular, 15cm, então 15/3=5 cm cada aresta da base, cada aresta do tetraedro (pois este é regular). Então:
$A_t=l^2\sqrt{3}=5^2\sqrt{3}=25\sqrt{3}$

Espero ter ajudado!