Question

(OBMEP) As nove casas do tabuleiro ao lado foram preenchidas com três números: 5, 8 e mais um outro número natural. Os números em cada linha são todos diferentes, e o mesmo acontece em cada coluna. Além disso, a soma dos números em cada uma das diagonais é o mesmo número par. Qual é essa soma?

(A)
18

(B)
20

(C)
24

(D)
28

(E)
30

Answer 1

R: x = 11 

soma = 24 

8 5 11 

11 8 5 

5 11 8 

Haveria 3 possibilidades: 

X __ __ 

__ X __ 

__ __ X 

A diagonal principal sendo x teríamos 

3x = x + 5 +8 

2x = 13 

x = 13/2 (não é natural!) 

5 ___ ___ 

___ 5 ___ 

___ ___ 5 

( A diagonal principal sendo 5, a soma não seria par!) 

8 ___ ___ 

___ 8 ___ 

___ ___ 8 

(A diagonal principal sendo 8 teríamos, 24 = x + 8 + 5 

x = 11

11+8+5 é igual a 24

Answer 2

Alternativa C: a soma é 24.

Inicialmente, vamos considerar o terceiro número natural do tabuleiro como X. Para resolver o problema, vamos considerar três hipóteses: o número 5, o número 8 e o número X ocupando as três casas da diagonal principal.

Caso o número 5 ocupasse a posição diagonal, a soma da diagonal seria 15, que é um número ímpar. Logo, podemos descartar essa possibilidade.

Caso o número X ocupasse essa posição, a soma do triplo de X deveria ser igual a soma dos três números. Logo, teríamos a seguinte situação:

$3x=x+5+8\\ \\ 2x=13\\ \\ x=\frac{13}{2}$

Veja que existe um resultado, porém esse não é um número natural. Assim, devemos descartá-lo.

Por fim, vamos testar o número 8 na diagonal principal. De maneira análoga ao caso anterior, ficaríamos com a seguinte situação:

$3\times 8=x+5+8\\ \\ x=24-13\\ \\ x=11$

Note que essa é a hipótese correta e 11 é o número natural restante. Por fim, a soma dos três valores será:

$Soma=5+8+11=24$

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