Question

Uma fabrica de costuras em series, para atender a demanda em franco crescimento, adquiriu um conjunto de maquinas cujo valor à vista era de R$ 30.000,00, mas essa aquisição foi financiada em 18 parcelas messais e iguais a R$ 2.041,76.
Determine a taxa de juros aplicada nesse financiamento. ( Inicie seus cálculos com a taxa de 2,25% a.m. e realize os mesmos com 4 casas decimais).

a) 2,32% a.m.
b) 2,23% a.m.
c) 3,27% a.m.
d) 3,22% a.m.
e) 2,37% a.m.

Answer 1

Boa noite!

Há uma maneira de se resolver (calcular) a taxa de juros, utilizando-se de um método iterativo bastante eficiente chamado método de Newton-Raphson. Este não é um método difícil de se aplicar. Vou mostrar a fórmula e mostrar como utilizar neste exercício. Depois, só repetir o processo sempre que quiser calcular taxa de juros.

O método de Newton-Raphson serve para encontrar 'zeros' de equações utilizando-se da derivada das equações. Quando as derivadas forem fáceis, portanto, torna-se um método simples de utilizar. Para funções bastante complexas, entretanto, existem outros mais eficazes (simples) de se aplicar.

Dados:
$PV=30\,000\\PMT=2\,041,76\\n=18\\i=?$

Primeiramente devemos encontrar uma função para a taxa (i).
$PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]\\i\cdot PV=PMT\cdot\left[1-\left(1+i\right)^{-n}\right]\\i\cdot PV+PMT(1+i)^{-n}-PMT=0$

Esta última irei utilizar como função para obtermos o 'i'.
$f(i)=iPV+PMT(1+i)^{-n}-PMT$

Precisamos, também, calcular a derivada desta função:
$f'(i)=PV-nPMT(1+i)^{-(n+1)}$

A função 'iterativa' que iremos utilizar para obter o resultado é a seguinte:
$\phi(i)=i-\dfrac{f(i)}{f'(i)}$

Cada valor calculado da função iterativa vai se tornar o novo i para substituir na mesma função de novo, até encontrar um valor que substituído dá a mesma resposta. Podemos começar com o 'i' sugerido pelo exercício, mas só para mostrar a rapidez de convergência, irei começar por um i=10%. Irei 'tabelar' os valores abaixo:
$\begin{matrix}i&f(i)&f'(i)&\phi(i)\\10\%&1\,325,4685&23\,990,8066&4,4751\%\\4,4751\%&229,2537&14\,003,1595&2,8379\%\\2,8379\%&43,4201&8\,404,5101&2,3213\%\\2,3213\%&5,5078&6\,235,9075&2,2330\%\\2,2330\%&0,1731&5\,842,7728&2,2300\%\\2,23\%&0,0002&5\,829,4666&2,2300\%\end{matrix}$

Veja que em i=2,23% a solução se repetiu, portanto, chegando até a taxa desejada.

Espero ter sido útil!