Question

Para que valores reais de x a função f(x) = x² - 2x + 6 é negativa?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Tata, que a resolução é simples.
Pede-se para que valores de "x" a função f(x) = x² - 2x + 6 é negativa?

Antes veja que o termo "a" da função da sua questão é positivo. E o delta (b² - 4ac) é negativo. Logo, a função dada NÃO tem raízes reais.
E se o termo "a" é positivo e a equação não tem raízes reais, então a função dada será SEMPRE positiva para todo "x" real. Logo, a função da sua questão:

NUNCA será negativa <--- Esta é a resposta. Ou seja, ela será sempre positiva para todo "x" real. .
 
A propósito disso, veja o que colocamos na sua outra questão, quando encontramos o valor de "m" para que a equação dada fosse sempre positiva para todo e qualquer "x" real. Como você deve se lembrar, lá colocamos isto:

i) Uma equação do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, com o termo "a" positivo e SEM raízes reais, então a função será sempre POSITIVA para todo e qualquer valor de "x" real.
ii) Uma equação do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, com o termo "a" negativo e SEM raízes reais, então a função será sempre NEGATIVA para todo e qualquer valor de "x" real.

Como a equação desta questão, que é f(x) = x² - 2x + 6, note que o termo "a" é positivo. E note também que ela não tem raízes reais, pois o seu delta é negativo [veja que o delta será: (-2)² - 4*1*6 = 4 - 24 = - 20].
Ora, como a equação da sua questão não tem raízes reais e o seu termo "a" é positivo, então ela será sempre positiva para todo e qualquer valor de "x" real.
Portanto, ela nunca será negativa.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.