Question

DETERMINE OS VALORES REAIS QUE SATISFAZEM AS INEQUAÇOES MODULARES.
a) | 3X - 5 | < 4
b) | X - 7 | > -2X + 1

Answer 1

Inequação modular


Um módulo pode ser definido da seguinte forma

     | x | = x

     | −x | = x


A segunda possibilidade é a que difere uma inequação modular de uma inequação de primeiro grau. Para números maiores zero ou iguais a 0, o módulo não modifica em nada, mas para números menores que zero ele recebe outro sinal negativo além do que já tinha.


Temos o seguinte:

     •     Se y ≥ 0, temos que | y | = y


Exemplo:

Vamos dizer que y = 9

     | 9 | = 9     ✔


     •     Se y < 0, temos que | y | = − y


Exemplo:

Vamos dizer que y = − 9

     | −9 | = − (− 9)
 
     | − 9 | = 9   ✔


a)


     | 3x − 5 | < 4


Se 3x − 5 ≥ 0

      3x ≥ 5

      x ≥ 5 / 3 (*)


Temos que

      3x − 5 < 4

      3x < 9

      x < 9 / 3

      x < 3


Fazendo a interseção com a primeira parte

      5 / 3 ≤ x < 3     ( i )


E se 3x − 5 < 0

      3x < 5

      x < 5 / 3     (*)


Temos que

      −(3x − 5) < 4

      −3x + 5 < 4

      −3x < − 1     ×(−1)

        3x > 1

        x > 1 / 3


Fazendo a interseção

      1 / 3 < x < 5 / 3     ( ii )


A solução será a união de das duas partes ( i ) e ( ii )

     [ 5/3, 3) ∪ ( 1/3, 3)


Logo a solução será

      S = {x ∈ R / 1/3 < x < 3}

__________


b)

| x − 7 | > − 2x + 1


Se x − 7 ≥ 0

      x ≥ 7     (*)


Temos que

     x − 7 > − 2x + 1

     x + 2x > 7 + 1

     3x > 8

     x > 8 / 3


Fazendo a interseção com a primeira parte ficamos com

     x ≥ 7     ( i )


Se x − 7 < 0

     x < 7     (*)


Temos que

     −(x − 7) > − 2x + 1

     − x + 7 > − 2x + 1

     − x + 2x > 1 − 7

        x > − 6


Fazendo a interseção com a primeira parte

      − 6 < x < 7     ( ii ) 


A solução será a união entre as duas partes ( i ) e ( ii )

     S = { x ∈ R / x > − 6}


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :)