Question

Imagine um enorme corredor com 100 armários fechados e uma fila de 100 pessoas no início desse corredor. A primeira pessoa da fila percorre o corredor e abre todos os armários. A segunda pessoa percorre o corredor e fecha o segundo armário, o quarto, o sexto, ect, isto é, fecha todos os armários de dois em dois. A terceira pessoa, ao percorrer o corredor, só se interessa pelo terceiro armário, pelo sexto, pelo nono etc., isto é, pelos armários de três em três, e o que faz a cada um deles é mudar o "estado" em que estão: abre os que estão fechados e fecha os que estão abertos. A quarta pessoa se detém no quarto armário, no oitavo, décimo segundo, etc.,mudando tb o "estado" em que estão: abre os que estão fechados e fecha os que estão abertos. E assim sucessivamente, até todas as pessoas terem passado por todos os armários. No final, quais armários ficaram abertos?

Answer 1

que possuem um número ímpar de divisores ficam abertos ao final. Analogamente, os que possuem um número par de divisores, ficam fechados.

Analisando uma sequência mais curta, até 20, por exemplo, notamos que os abertos são os quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16,... e isso pode ser comprovado para os demais quadrados perfeitos, pois é só verificar que o número de divisores é sempre ímpar... e a lista continua... 25, 36, 49, 64, 81, 100...

Então, basta calcular quantos quadrados perfeitos existem entre 1 e 1000. O primeiro deles é o 1, depois o 4=2², depois o 9=3² e assim por diante. Veja que a base da potência que representa cada quadrado perfeito indica sua quantidade. Portanto, ao encontrarmos o maior quadrado perfeito menor que 1000, a base da potência indicará a quantidade total. O 31² = 961. Logo, 31 é a quantidade de armários abertos ao final. São eles: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900 e 961.