Question

A soluçao da inequação: sen$sen^{2}x + 3cos^ {2}x + 3senx \geq 4$ em [0;2π] é?

Answer 1

Oi Igor.

Dada a equação:

$sen^{ 2 }x+3cos^{ 2 }x+3senx\ge 4$

Vamos transformar esse cosseno em seno, para isso temos que saber identidades.
sen²x+cos²x=1
cos²x=1-sen²x

$sen^{ 2 }x+3(1-sen^{ 2 }x)+3senx\ge 4\\ sen^{ 2 }x+3-3sen^{ 2 }x+3senx\ge 4\\ -2sen^{ 2 }x+3senx+3\ge 4$

Trazendo esse 4 para o lado esquerdo.

$-2sen^{ 2 }x+3senx-4+3\ge 0\\ -2sen^{ 2 }x+3senx-1\ge 0\quad (-1)\\ 2sen^{ 2 }x-3senx+1\le 0$

Vamos fazer uma mudança de variável e resolver essa equação do segundo grau.

$senx=y\\ \\ 2y^{ 2 }-3y+1\le 0\\ \\ y^{ I }=\frac { 1 }{ 2 } \quad e\quad y^{ II }=1$

$senx=\frac { 1 }{ 2 } \quad e\quad senx=1$

$S=[30^{ o },90^{ o }]$