Question

O número 12 é o máximo divisor comum dos números 360, a e b, considerados dois a dois. Sabendo-se que 100 < a < 200 e que 100 < b < 200, pode se afirmar que a + b, vale?



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Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

Veja que $360=2^3\times3^2\times5$ e $12=2^2\times3$.

Como $\texttt{mdc}(a,360)=12$ e $\texttt{mdc}(b,360)=12$, temos que $a$ e $b$ são da forma $a=12m$ e $b=12n$, sendo $m$ e $n$ fatores primos diferentes de $2\times3\times5$.

Mas $100<a,b<200$, temos que $100<12m<200$, donde $8,34<m<16,67$, o mesmo para $n$.

Os primos entre $8$ e $16$ são $11$ e $13$.

Logo,

$a=12\cdot11 \iff \boxed{a=132}$

$b=12\cdot13 \iff \boxed{b=156}$ e a resposta é $a+b=132+156=\boxed{288}$