Question

Uma pedra e lançada do solo  verticalmente para cima. Ao fim de t segundos, atinge a altura h(t) dada pela funçao h (t)=20t-t elevado a 2. A) Calcule a posiçao da pedra apos 3 segundos. B) Determine a altura maxima que a pedra atinge. C) Calcule o instante em que a pedra se encontra a 75 metros de altura durante a subida.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Paulo, que agora dá pra darmos a resposta no local próprio e com bastante espaço para isso.
Tem-se a seguinte equação que dá a trajetória da pedra lançada verticalmente:

h(t) = 20t - t² --- ou, o que é a mesma coisa:
h(t) = - t² + 20t , em que "t" é dado em segundos.

Dadas as informações acima são propostas as seguintes questões:

a) Calcule a posição da pedra após 3 segundos.
Veja: basta irmos na função dada [h(t) = - t² + 20t] e substituirmos "t" por "3", com o que ficaremos;

h(3) = -3² + 20*3
h(3) = - 9 + 60
h(3) = 51 metros <-- Esta é a resposta para a questão do item "a". Ou seja, após 3 segundos a pedra terá alcançado 51 metros.

b) Determine a altura máxima que a pedra atingirá.
Veja: para isso, basta calcularmos o valor máximo da função, que será dado pelo "y" do vértice (yv) da parábola que a função traçará. E o "yv" é calculado da seguinte forma;

yv = - (Δ)/4a , em que Δ = b² - 4ac.

Note que na função h(t) = - t² + 20t, os coeficientes bem como o Δ serão estes:

a = - 1 --- (é o coeficiente de t²)
b = 20 --- (é o coeficiente de t)
c = 0 ----- (note que a equação não tem o termo independente)
Δ = b² - 4ac = 20² - 4*(-1)*0 = 400 + 0 = 400

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

yv = - (400)/4*(-1)
yv = -(400)/(-4) --- ou, o que é a mesma coisa;
yv = -400/-4 ---- como, na divisão, menos com menos dá mais, então:
yv = 400/4
yv = 100 metros <-- Esta é a resposta para a questão do item "b". Ou seja, esta será a altura máxima que a pedra atingirá.

c) Calcule o instante em que a pedra se encontra a 75 metros de altura durante a subida.

Veja: para isso, basta que substituamos h(t) por "75" na função dada [h(t) = - t²+20t]. Então fazendo isso, teremos;

75 = - t² + 20t ------- passando "75" para o 2º membro, ficaremos com:
0 = - t² + 20t - 75 ---- vamos apenas inverter, ficando:
- t² + 20t - 75 = 0 ----- Agora basta encontrar as duas raízes: a raiz menor dará o instante na subida pedra; a raiz maior dará o instante na descida da pedra.
Vamos aplicar Bháskara, cuja fórmula é esta;

t = [-b ± √(Δ)]/2a ---- note que os coeficientes bem como o Δ da equação que acabamos de ver aí em cima [-t²+20t-75 = 0] serão estes:

a = - 1 --- (é o coeficiente de t²)
b = 20 ---- (é o coeficiente de t)
c = - 75 --- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b² - 4ac = 20² - 4*(-1)*(-75) = 400 -300 = 100.

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

t = [-20 ± √(100)]/2*(-1)
t = [-20 ± √(100)]/-2 ----- como √(100) = 10, teremos;
t = [-20 ± 10]/-2 ---- daqui você já conclui que:

t' = (-20+10)/-2
t' = (-10)/-2 --- ou apenas:
t' = -10/-2 ---- como, na divisão, menos com menos dá mais, então temos;
t' = 10/2
t' = 5 <-- Esta é a raiz menor.
e
t'' = (-20-10)/-2
t'' = (-30)/-2 -- ou apenas:
t'' = -30/-2 ---- como, na divisão, menos com menos dá mais, então ficamos:
t'' = 30/2
t'' = 15 <--- Esta é a raiz maior.

Como é pedido o tempo (em segundos) em que a pedra deverá atingir 75 metros na subida, então esse tempo será dado pela raiz menor e que é igual a:

5 segundos <--- Esta é a resposta para a questão do item "c". Ou seja, com 5 segundos, na subida, a pedra atingirá 75 metros.

Observação: na descida a pedra também estará a 75 metros de altura aos 15 segundos (que é dado pela raiz maior).

Para você ter uma ideia visual acerca do gráfico da função (parábola) veja-o no endereço abaixo, pois aqui no Brainly eu não sei construir gráficos. Veja lá:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=h(t)+%3D+-+t%C2%B2+%2B+20t

Procure se fixar no 1º gráfico pois, por ter uma escala maior, fica melhor de ver.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.