Question

para que valor de m o ponto (m,0) é externo à circunferencia de equeção x² + y² -4x + 5y -5 = 0?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, que a resolução é simples.
Pede-se o valor de "m" para que o ponto P(m; 0) seja externo à circunferência cuja equação é esta:

x² + y² - 4x + 5y - 5 = 0

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Note: primeiro vamos encontrar qual é a equação reduzida da circunferência cuja equação está escrita aí em cima. Vamos ter que formar os quadrados para encontrar a equação reduzida da circunferência que deverá estar na seguinte forma:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r² , em que "x₀" e "y₀" são as coordenadas do centro da circunferência, e r² é o raio ao quadrado.

Assim, tendo a forma reduzida acima como parâmetro, então vamos tomar a equação dada e vamos ordenar os fatores. Repetindo a equação dada, temos;

x² + y² - 4x + 5y - 5 = 0 ---- ordenando, temos:
x² - 4x + y² + 5y - 5 = 0 ---- agora vamos formar os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles valores que forem acrescidos por força da formação dos quadrados. Assim, teremos;

(x-2)² - 4 + (y+2,5)² - 6,25 - 5 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
(x-2)² + (y+2,5)² - 15,25 = 0 ---- passando "-15,25" para o 2º membro, temos:
(x-2)² + (y+2,5)² = 15,25      . (II)

ii) Agora veja: vamos comparar as expressões (II) que acabamos de encontrar acima com a expressão (I). Vamos escrever uma embaixo da outra para melhorar a comparação:

(x-x₀) + (y-y₀)² = r²               . (I)
(x-2)² + (y+2,5)² = 15,25      . (II)

Note que 15,25 terá que ser igual ao raio ao quadrado, então fazemos assim:
r² = 15,25
r = ± √(15,25) ---- como o raio não é negativo, então vamos tomar apenas a raiz positiva e igual a:

r = √(15,25) <--- Este é o raio da circunferência da sua questão.  Note que √(15,25) dá aproximadamente igual a "3,905".

Então a equação da circunferência da sua questão tem centro em C(2; -2,5) e raio igual a aproximadamente "3,905".

iii) Agora vamos encontrar o valor de "m" do ponto P(m; 0) para que esse ponto seja externo à circunferência.
Note: para que o ponto seja externo à circunferência, então a distância do centro C(2; -2,5) ao ponto P(m; 0) deverá ser maior que o raio (que mede √(15,25) ou "3,905" aproximadamente). Então vamos calcular a distância (d) entre esses dois pontos:

d² = (m-2)² + (0-(-2,5))²
d² = (m-2)² + (0+2,5)²
d² = (m-2)² + (2,5)²
d² = m²-4m+4 + 6,25 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
d² = m² - 4m + 10,25
d = ± √(m²-4m+10,25)     . (III)

iv) Agora veja: a distância (d) acima encontrada na expressão (III) deverá ser maior que o raio da circunferência (que é igual a √(15,25) ou "3,905" aproximadamente.
Então vamos fazer isso, ficando:

± √(m²-4m+10,25) > √(15,25) ---- para eliminar os radicais, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando:

[±√(m²-4m+10,25)]² > [√(15,25)]² ----- desenvolvendo os quadrados, ficamos com:

m² - 4m + 10,25 > 15,25 ---- passando "15,25" para o 1º membro, temos:
m² - 4m + 10,25 - 15,25 > 0
m² - 4m - 5 > 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará que as raízes serão estas:

m' = - 1
m'' = 5

Assim, para que o ponto P(m; 0) seja externo à circunferência da sua questão, então "m" deverá assumir valores nos seguintes intervalos:

ou m < - 1, ou m > 5 <--- Esta é a resposta. Ou seja, estes são os possíveis intervalos para os valores de "m" para que o ponto P(m; 0) seja externo à circunferência. Em outras palavras: em ambas as hipóteses teremos o ponto P(m; 0) externo à circunferência da sua questão.
A propósito, note que se "m" fosse igual a "-1" ou igual a "5", teríamos um ponto exatamente em cima do traço da circunferência. Como queremos que esse ponto seja externo, então é por isso que colocamos que: m < -1, ou m > 5, perfeito?
E também a propósito, veja o gráfico da circunferência da sua questão no endereço abaixo e constate tudo o que se disse acerca dos possíveis valores de "m". Veja lá:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B2+%2B+y%C2%B2+-4x+%2B+5y+-5+%3D+0

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.