Question

Qual e número de 2 algarismos qur é o quadrado de um natural e que tem 9 divisores

Answer 1

Boa noite.

Veja que como esse número de dois algarismos n é o quadrado de um natural x, devemos ter que x esteja entre 1 - 9 para termos x² com dois algarismos.

Além disso, o número n terá 9 divisores. Veja que 9 = 3.3, e que, sendo p₁, p₂, ... primos da fatoração de n, esse número pode ser escrito como:

$n = p_1^\alpha\cdot p_2^\beta\cdot ...\cdot p_k^\omega$

E sua quantidade de divisores será: 

$d = (\alpha+1)(\beta+1)\dots(\omega+1)$

Note que para n, precisamos ter α = 2 e β = 2, pois

(α + 1)(β + 1) = (2 + 1)(2 + 1) = 9 divisores

Portanto, n tem dois fatores diferentes com expoente 2, o que indica que x não é primo, pois:

$x^2 = n\\ x^2 = p_1^2\cdot p_2^2\\ \\ x = p_1\cdot p_2$

Veja também que o número x não poderá ter composição de apenas um fator, como o 8, que é 2³, pois assim, n = x² terá, também, apenas um fator, e valores à oitava potência estão fora de questão(pois teriam 8 + 1 = 9 divisores).

Vamos excluir os números de 1 a 9 que não satisfazem os critérios(não ser primo, o quadrado deve ter dois dígitos e deve ter dois fatores):


Excluímos o 1, 2 e 3 porque seu quadrado tem apenas um dígito.

Excluímos o 5, 7 e 9 por serem primos.

Excluímos o 4 e 8 por terem apenas um fator na decomposição em primos.


Nos sobra o 6, cujo quadrado é 36 sua resposta .

S = {36}


Conferindo: 6² = 36, de dois dígitos. $\checkmark$

36 = 9 . 4 = 3² . 2² , tem dois fatores elevados a 2. Tem (2 + 1)(2 + 1) = 9 divisores $\checkmark$