Question

Determinar um vetor unitário do R³ que seja ortogonal a todos os vetores do subespaço w = {(1,2,-1), (-1,0,2)}

Answer 1

Seja $(a,b,c)$ o vetor procurado. Como ele é unitário, temos $a^2+b^2+c^2=1$.

Devemos ter $(a,b,c)\cdot(1,2,-1)=0$ e $(a,b,c)=(-1,0,2)$

Assim, obtemos as equações:

$a+2b-c=0$
$-a+2c=0$

Da segunda equação, tiramos que, $a=2c$, substituindo na primeira obtemos:

$a+2b-c=0 \iff 2c+2b-c=0 \iff c+2b=0 \iff c=-2b$

Assim, como $a=2c$, segue que, $a=2(-2b)=-4b$. Substituindo na equação $a^2+b^2+c^2=1$:

$(-4b)^2+b^2+(-2b)^2=1 \iff 16b^2+b^2+4b^2=1 \iff 21b^2=1$

$b^2=\dfrac{1}{21} \iff b=\pm\sqrt{\dfrac{1}{21}} \iff b=\pm\dfrac{\sqrt{21}}{21}$

Para $b=\dfrac{\sqrt{21}}{21}$, temos:

$a=-4b=\dfrac{-4\sqrt{21}}{21}$

$c=-2b=\dfrac{-2\sqrt{21}}{21}$

Para $b=-\dfrac{\sqrt{21}}{21}$, temos:

$a=-4b=\dfrac{4\sqrt{21}}{21}$

$c=-2b=\dfrac{2\sqrt{21}}{21}$

As duas possibilidades são:
 
$(a,b,c)=\left(\dfrac{4\sqrt{21}}{21},-\dfrac{\sqrt{21}}{21},\dfrac{2\sqrt{21}}{21}\right)$

$(a,b,c)=\left(-\dfrac{4\sqrt{21}}{21},\dfrac{\sqrt{21}}{21},-\dfrac{2\sqrt{21}}{21}\right)$