Question

demonstrar por indução que o número de diagonais de um polígono é? alguém sabe? por favor ;)

Answer 1

O método de indução é útil para provar fórmulas já conhecidas.Vamos provar por indução que o número de diagonais de um polígono convexo é dado por n*(n-3)/2,onde n é o número de lados.

I.Base:n=3

Neste caso a figura tem 3*(3-3)/2=0 diagonais.Isso está correto,pois um polígono de três lados é um triângulo,que não tem diagonais.

II.Hipótese indutiva:

Considere que ∀ k ≤ n o número de diagonais é dado por k(k-3)/2=(k²-3k)/2

III.Passo indutivo:

Queremos demonstrar que para k=k+1,a quantidade de diagonais é (k+1)(k+1-3)/2=(k+1)(k-2)/2.

Veja que:

(k+1)(k-2)/2=(k²-2k+k-2)/2=(k²-k-2)/2.

Fazendo um truque aritmético,perceba que:

(k²-k-2)/2=(k²-k-2k+2k-2)/2,pois -2k+2k=0

Assim,temos:

(k²-3k+2k-2)/2=(k²-3k)/2+(2k-2)/2=(k²-3k)/2+(k-1)

Pela hipótese,(k²-3k)/2 é o numero de diagonais de um polígono com n lados.Logo,estamos inferindo que para uma figura com n+1 lados o mesmo é dado pela fórmula anterior somado com n-1.Isso está correto,pois o acréscimo de um novo vértice faria surgir uma diagonal entre os lados adjacentes ao mesmo,que formaria diagonais com n-2 vértices.Logo,devemos somar n-2+1=n-1.