Question

50 ponts geometria analítica

descubra sobre a reta x-y+1=0 um ponto p equidistante dos pontos A(3,0) e B(7,2)

gabarito está na foto acima

Answer 1

Seja $P(a,b)$ o ponto que queremos encontrar. Como ele pertence à reta $r:~x-y+1=0$, suas coordenadas atendem à lei de formação de $r$:

$a-b+1=0\Longrightarrow b=a+1$

Logo, nosso ponto P possui a forma $P(a,a+1)$. Agora, usando a informação de que ele equidista de A e B (isto é, a distância de P a A é igual à distante de P a B):

$d_{AP}=d_{BP}\\\\ \sqrt{(x_A-x_P)^2+(y_A-y_P)^2}=\sqrt{(x_B-x_P)^2+(y_B-y_P)^2}$

Elevando os dois lados da equação ao quadrado e usando as coordenadas de A e B dadas e a de P descoberta:

$(\sqrt{(x_A-x_P)^2+(y_A-y_P)^2})^2=(\sqrt{(x_B-x_P)^2+(y_B-y_P)^2})^2\\\\ (x_A-x_P)^2+(y_A-y_P)^2=(x_B-x_P)^2+(y_B-y_P)^2\\\\ (3-a)^2+(0-(a+1))^2=(7-a)^2+(2-(a+1))^2\\\\ (3-a)^2+(a+1)^2=(7-a)^2+(1-a)^2\\\\ (9-6a+a^2)+(a^2+2a+1)=(49-14a+a^2)+(1-2a+a^2)\\\\ 2a^2-4a+10=2a^2-16a+50\\\\ 12a=40\\\\ a=\dfrac{40}{12}=\dfrac{10}{3}\\\\ \boxed{a=3\dfrac{1}{3}}\Longrightarrow b=\dfrac{10}{3}+1=\dfrac{13}{3}\Longrightarrow \boxed{b=4\dfrac{1}{3}}$

Portanto, o ponto P que procuramos é:

$\boxed{\boxed{P\left(3\dfrac{1}{3},4\dfrac{1}{3}\right)}}$