Question

Será que poderiam me ajudar. Ele quer a área do quadrado hachurado, sabendo que a área do quadrado maior(abcd) é 115,e os pontos EFGH são pontos médios dos lados

Answer 1

Boa tarde

Vamos acrescentar dois pontos à figura :

J é a interseção de AG com BH

K é a interseção de EC com BH

Vamos chamar o lado do quadrado maior de m e o lado do quadrado menor de n .

Observe que no triângulo BCH , CH é a metade BC , isto é BC=m e CH=m/2

Vamos calcular BH .

BH²=m²+(m/2)²  ⇒ BH²=m² + m²/4 ⇒BH² = 5m² / 4 ⇒ BH= m √5 / 2    (1)

Vamos chamar JG de x , e pela simetria da figura temos HK=x

Pela semelhança dos triângulos BHC  e  BCJ  temos BJ =2x

No triângulo BCJ temos : BG²=JG²+BJ²  ou  (m/2)²=x²+(2x)² ⇒

m²/4=x²+4x²⇒m²/4=5x²⇒x²= m²/20 ⇒ x= m / √20 ⇒ x = m√20 / 20

x= 2m√5/20 ⇒ x=m√5/10

Veja que BH=BJ+JK+HK =2x+n+x  = 3x+n     (2)

Comparando  (1)  e  (2)

m√5 / 2 = 3x+n ⇒n= m√5/2 - 3x ⇒ n= m√5/2 - 3×m√5 / 10

n= (5m√5-3m√5) / 10 = 2m√5 /10 ⇒n= m√5/5

logo n² = (m√5/5)²  ⇒ n² = m² / 5

ou seja a área do quadrado menor é um quinto da área do maior

115/5 = 23 ⇒ n² = 23

É mais fácil  entender os cálculos olhando o anexo .