Question

dois angulos que sao suplementares e a razão entre o suplemento de um eo conplementodo outro, nessa ordem 1/2 , quais sao as medidas desses anguloS

Answer 1

Olá.

Tópico dentro da Geometria.

Primeiro, convém conhecermos mais sobre complemento, suplemento e razão.

COMPLEMENTO

Recebe o nome de “medida complementar” (ou melhor, complemento) o ângulo c que, somado a um ângulo α, resulta em 90°. Aritmeticamente falando, temos:

90° = α + c

90° - α = c

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SUPLEMENTO

Recebe o nome de “medida suplementar” (ou melhor, suplemento) o ângulo s que, somado a um ângulo β, resulta em 180°. Aritmeticamente falando, temos:

180° = β + s

180° - β = s

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RAZÃO

A razão de dois termos é obtida através da divisão de um pelo outro.

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Vamos ao desenvolvimento.

Chamaremos esses dois ângulos de alfa e beta, α e β, respectivamente.

Com os dados do enunciado, foi-nos informado que eles são suplementares entre si, logo, podemos dizer que a soma deles resulta em 180°. Aritmeticamente, temos:

α + β = 180°

A razão entre o suplemento de um e o complemento de outro é 1/2. Ou seja:

$\mathsf{\dfrac{Suplemento~\alpha}{Complemento~\beta}=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{180^{\circ}-\alpha}{90^{\circ}-\beta}=\dfrac{1}{2}}$

Usando a primeiro proposição, "α + β = 180°", podemos isolar um valor para α. Vamos aos cálculos:

α + β = 180°

α = 180° - β 

Usando o valor isolado de α, vamos substituí-lo na fração da razão e desenvolver. Vamos aos cálculos.

$\mathsf{\dfrac{180^{\circ}-\alpha}{90^{\circ}-\beta}=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{180^{\circ}-180^{\circ} - \beta)}{90^{\circ}-\beta}=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{180^{\circ}-180^{\circ} + \beta)}{90^{\circ}-\beta}=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\beta}{90^{\circ}-\beta}=\dfrac{1}{2}}$

Multiplicando cruzado...

$\mathsf{\dfrac{\beta}{90^{\circ}-\beta}=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{1\cdot(90^{\circ}-\beta)=2\cdot\beta}\\\\ \mathsf{90^{\circ}-\beta=2\beta}\\\\ \mathsf{90^{\circ}=2\beta+\beta}\\\\ \mathsf{90^{\circ}=3\beta}\\\\ \mathsf{\dfrac{90^{\circ}}{3}=\beta}\\\\\\ \boxed{\mathsf{30^{\circ}=\beta}}$

Tendo obtido o valor de β, podemos conseguir o de α.

Um dado que adquirimos acima foi que os ângulos são suplementares. Substituindo o valor que obtemos de β na proposição formada, vamos descobrir o valor de α.

α = 180° - β 

α = 180° - 30°

α = 150°

Temos então, que as medidas desses ângulos são 150° e 30°.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.

Bons estudos.