Question

Um prisma triangular regular tem 8 cm de aresta lateral da base. Determine a área da base, área total, área lateral e o volume

Answer 1

Boa noite!

Sendo o comprimento de todas as arestas iguais a 8 cm, temos:
Área da base:
$A_b=\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}$

Área lateral:
$A_l=3\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}=3\cdot 16\sqrt{3}=48\sqrt{3}$

Área total:
$A_t=A_l+A_b=48\sqrt{3}+16\sqrt{3}=64\sqrt{3}$

Volume:
Precisamos calcular a altura da pirâmide, que pode ser obtido do triângulo retângulo com hipotenusa igual ao apótema da pirâmide (altura de uma das faces laterais) e o apótema da base (raio da circunferência inscrita na base).
Então:
Apótema da pirâmide:
$a_p=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}$

Apótema da base:
$a_b=\dfrac{1}{3}\dfrac{l\sqrt{3}}{2}=\dfrac{l\sqrt{3}}{6}$

Altura da pirâmide:
$a_p^2=a_b^2+h^2\\\left(\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\right)^2=\left(\dfrac{l\sqrt{3}}{6}\right)^2+h^2\\h^2=\dfrac{3l^2}{4}-\dfrac{3l^2}{36}\\h^2=\dfrac{24l^2}{36}\\h=\dfrac{l\sqrt{6}}{3}$

Agora que temos a altura, podemos calcular o volume:
$V=\dfrac{1}{3}A_b\cdot h=\dfrac{1}{3}\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\dfrac{l\sqrt{6}}{3}\\V=\dfrac{l^3\sqrt{18}}{36}\\V=\dfrac{l^3\sqrt{2}}{12}=\dfrac{8^3\sqrt{2}}{12}\\V=\dfrac{128\sqrt{2}}{3}$

Espero ter ajudado!